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  • （2010?北京）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直???CE⊥AC，EF∥AC，AB=√2，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?北京）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直???CE⊥AC，EF∥AC，AB=
      √2
      ，CE=EF=1．
      （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
      （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
      （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

      试题解答

      见解析
      解：证明：（I）设AC与BD交于点G，
      因为EF∥AG，且EF=1，AG=
      1
      2
      AC=1，
      所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．
      因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，
      所以AF∥平面BDE．
      （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，
      所以CE⊥平面ABCD．
      如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
      则C（0，0，0），A（
      √2
      ，
      √2
      ，0），D（
      √2
      ，0，0），E（0，0，1），F（
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ，1）．
      所以
      CF
      =（
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ，1），
      BE
      =（0，-
      √2
      ，1），
      DE
      =（-
      √2
      ，0，1）．
      所以
      CF
      ?
      BE
      =0-1+1=0，
      CF
      ?
      DE
      =-1+0+1=0．
      所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
      （III）由（II）知，
      CF
      =（
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ，1），是平面BDE的一个法向量，
      设平面ABE的法向量
      n
      =（x，y，z），则
      n
      ?
      BA
      =0，
      n
      ?
      BE
      =0．
      即
      {
      (x，y，z)?(
      √2
      ，0，0)=0
      (x，y，z)?(0，-
      √2
      ，1)=0

      所以x=0，且z=
      √2
      y．令y=1，则z=
      √2
      ．所以n=（0，1，
      √2
      ），???而cos（
      n
      ，
      CF
      ）=
      n
      ?
      CF
      |
      n
      | ?|
      CF
      |
      =
      √3
      2

      因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为
      π
      6
      ．
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