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  • （2010?海淀区一模）如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（I）证明：BC⊥平面AMN；（II）求三棱锥N-AMC的体积；（III）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?海淀区一模）如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
      （I）证明：BC⊥平面AMN；
      （II）求三棱锥N-AMC的体积；
      （III）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，
      ∴AB=BC
      又∠ABC=60°，
      ∴AB=BC=AC，
      又M为BC中点，∴BC⊥AM
      而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
      又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
      （II）∵      S△AMC=
      1
      2
      AM?CM=
      1
      2
      ×
      √3
      ×1=
      √3
      2

      又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1
      ∴三棱锥N-AMC的体积V=
      1
      3
      S△AMC?AN
      =
      1
      3
      ×
      √3
      2
      ×1=
      √3
      6

      （III）存在点E，
      取PD中点E，连接NE，EC，AE，
      ∵N，E分别为PA，PD中点，
      ∴NE
      ∥
      1
      2
      AD
      又在菱形ABCD中，CM
      ∥
      1
      2
      AD
      ∴NE
      ∥
      MC，即MCEN是平行四边形
      ∴NM∥EC，
      又EC?平面ACE，NM?平面ACE
      ∴MN∥平面ACE，
      即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，
      此时PE=
      1
      2
      PD=
      √2
      ．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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