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  • 如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，F是DC的中点，AE=2EP．（Ⅰ）试判断直线EF与平面PBC的位置关系，并予以证明；（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD体积为83，CD=2√2，PC=BC=2，求证：平面BDE⊥面PBC．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，F是DC的中点，
      AE
      =2
      EP
      ．
      （Ⅰ）试判断直线EF与平面PBC的位置关系，并予以证明；
      （Ⅱ）若四棱锥P-ABCD体积为
      8
      3
      ，CD=2
      √2
      ，PC=BC=2，求证：平面BDE⊥面PBC．

      试题解答

      见解析
      证明：（Ⅰ）直线EF与平面PBC相交．…（2分）
      证明如下：过E作EG∥AB交PB于G，
      ∵
      AE
      =2
      EP
      ，∴
      PE
      PA
      =
      1
      3
      ，
      ∴EG=
      1
      3
      AB，∵FC=
      1
      2
      CD=
      1
      2
      AB，
      ∴FC≠EG…（4分）
      由底面ABCD是平行四边形得FC∥AB，
      ∴EG∥FC…（5分）
      ∴EF与CG相交，
      故直线EF与平面PBC相交．…（6分）
      （Ⅱ）解：过B作BH⊥CD于H，
      ∵四棱锥P-ABCD体积为
      8
      3
      ，PC⊥平面ABCD，
      ∴
      1
      3
      PC?DC?BH=
      8
      3
      ，PC⊥BD．
      ∴BH=
      √2
      ，…（9分）
      ∵BC=2∴CH=
      √2
      ，
      ∵CD=2
      √2
      ，
      ∴BH=CH=HD，
      ∴DB⊥BC．
      ∴DB⊥面PBC，…（11分）
      ∵BD?面BDE，
      ∴平面BDE⊥面PBC．…（12分）
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