（2014?茂名二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E，F分别是AC，AB CB上的点，且DE∥BC，DE=2，CF=1，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使AC⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1E的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值；（3）试问线段A1C上是否存在???P，使平面FDP∥平面A1BE？请你说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

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（2014?茂名二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E，F分别是AC，AB CB上的点，且DE∥BC，DE=2，CF=1，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使AC⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁E的中点，求CM与平面A₁BE所成角的正弦值；
（3）试问线段A₁C上是否存在???P，使平面FDP∥平面A₁BE？请你说明理由．

试题解答

见解析

（1）证明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD．
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE．
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BCDE；
（2）解：建立如图所示的坐标系，AC=2

√3

，
则D（-2，0，0），A₁（0，0，2

√3

），E（-2，2，0），
∴

=（0，3，-2

√3

），

A₁E

=（-2，2，-2

√3

），
设平面A₁BE的法向量为

=（x，y，z），则

{	3y-2 √3 z=0 -2x+2y-2 √3 z=0

，
∴取

=（-1，2，

√3

）
∵M（-1，1，

√3

），
∴

=（-1，1，

√3

），
设CM与平面A₁BE所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

，

＞|=

√8

√5

√10

，
∴CM与平面A₁BE所成角的正弦值为

√10

；
（3）解：连接DF，则
∵DE∥FB，DE=FB，
∴四边形FBED为平行四边形，
∴DF∥EB，
∵EB?平面A₁BE，DF?平面A₁BE，
∴DF∥平面A₁BE，
过F作FP∥A₁B交A₁C于P，同理FP∥平面A₁BE，
∵FP∩DF=F，
∴平面FDP∥平面A₁BE，
∴线段A₁C上存在点P，使平面FDP∥平面A₁BE．

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必修2 人教A版解答题高中数学

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