（2010?莆田模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，E是棱PC的中点．（Ⅰ）设点G在棱AB上，当点G在何处时，可使直线GE⊥平面PCD，并证明你的结论；（Ⅱ）求直线AC与平面ADE所成角的大小．试题及答案-解答题-云返教育

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（2010?莆田模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，E是棱PC的中点．
（Ⅰ）设点G在棱AB上，当点G在何处时，可使直线GE⊥平面PCD，并证明你的结论；
（Ⅱ）求直线AC与平面ADE所成角的大小．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）当G为AB中点时，GE⊥平面PCD，证明如下：
取PD的中点H，连EH，AH，GE．∵EH∥CD，EH=

CD，AG∥CD，AG=

CD，
∴AG∥CD，AG=CD，∴四边形AGEH为平行四边形．
∴GE∥AH∵在△PAD中，PA=AD，∴AH⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD
∵AH?平面PAD，∴CD⊥AH，且PD∩CD=D，
∴AH⊥平面PCD，又∵GE∥AH，∴GE⊥平面PCD
（Ⅱ）如图，以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
∵E为PC的中点，∴E（1，1，1）

=(1，1，1)，

=(0，2，0)，

=（2，2，0）；
设平面AED的一个法向量为

=（x，y，z）
则

{

，即

{	x+y+z=0 2y=0

，令x=1，得

=（1，0，-1），
设直线AC与平面AED所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

，

＞|=

；
∴设直线AC与平面AED所成的角为30°．

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必修2 人教A版解答题高中数学

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