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  • 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=√22AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
      √2
      2
      AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
      （Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
      （Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．

      试题解答

      见解析
      证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（3分）
      且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
      ∴EF∥平面PAD（6分）
      （Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
      又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
      ∴CD⊥PA（9分）
      又PA=PD=
      √2
      2
      AD，
      所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=
      π
      2
      ，即PA⊥PD（12分）
      而CD∩PD=D，
      ∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）
      标签
      必修2人教A版解答题高中数学

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