已知函数f（x）=a2x2+ax-（a＞0），函数g（x）=lnx．（1）若函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求a的值；（2）在区间（0，1]上存在x，使f（x）＜g（x）（8），求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=a²x²+ax-

（a＞0），函数g（x）=lnx．
（1）若函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求a的值；
（2）在区间（0，1]上存在x，使f（x）＜g（x）（8），求a的取值范围．

见解析

（1）依题意设函数f（x）与函数g（x）的图象的公共点为M（x，y），
则

，
由①得（2ax-1）（ax+1）=0∵a＞0，x＞0∴x=

，
代入②得a=

．
（2）令u（x）=f（x）-g（x）=a²x²+ax-lnx-

，x∈（0，1]，
若存在x∈（0，1]，使f（x）＜g（x），即u（x）＜0成立，只需u（x）_min＜0，
由u'（x）=2a²x+a-

（x∈（0，1]，a＞0）知若0＜a≤

，
则u'（x）≤0对于x∈（0，1]恒成立，
∴u（x）在（0，1]上单调递减，
而u（x）_min=u（1）=a²+a-

＜0显然成立，
∴0＜a≤

；
若

，同理

=ln2a-1＜0∴

；
若a≥

，同理

=ln2a-1≥0不合题意综合得0＜a＜

．

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