已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足，其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．（Ⅰ）求a1，b1的值；（Ⅱ）点P1，P2，P3，…，Pn，…能否共线？证明你的结论；（Ⅲ）证明：对于给定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一个指数函数的图象上．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足

，其中{a_n}、{b_n}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P₁是线段AB的中点．
（Ⅰ）求a₁，b₁的值；
（Ⅱ）点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否共线？证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于给定的公差不零的{a_n}，都能找到唯一的一个{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一个指数函数的图象上．

试题解答

见解析

（Ⅰ）P₁是线段AB的中点

…（1分）
又

，且

不共线，
由平面向量基本定理，知：

…（3分）
（Ⅱ）由

设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则由于P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同，所以d=0，q=1不会同时成立；（4分）
若d=0，则

，?P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直线

上； …（5分）
若q=1，则

为常数列，?P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直线

上； …（6分）
若d≠0且q≠1，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共线?

=（a_n-a_n-1，b_n-b_n-1）与

共线（n＞1，n∈N^*）?（a_n-a_n-1）（b_n+1-b_n）-（a_n+1-a_n）（b_n-b_n-1）=0?d（b_n+1-b_n）-d（b_n-b_n-1）=0?（b_n+1-b_n）=（b_n-b_n-1）?q=1与q≠1矛盾，
∴当d≠0且q≠1时，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…不共线． …（9分）
（Ⅲ）设P_n（a_n，b_n）都在指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，则