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  • 已知函数f（x）=lnx，（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（I）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lnx，
      （I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
      （Ⅱ）在（I）的结论下，设φ（x）=e      2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
      （Ⅲ）设函数f（x）的图象C      1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      （I）依题意：h（x）=lnx+x2-bx．
      ∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
      ∴      对x∈（0，+∞）恒成立，
      ∴      ，∵x＞0，则．
      ∴b的取值范围是      ．
      （II）设t=e      x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．
      ∵      ．
      ∴当      ，即时，函数y在[1，2]上为增函数，
      当t=1时，y      min=b+1；当1＜-＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-时，；
      ，即b≤-4时，函数y在[1，2]上是减函数，
      当t=2时，y      min=4+2b．
      综上所述：
      （III）设点P、Q的坐标是（x      1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．
      则点M、N的横坐标为      ．
      C      1在点M处的切线斜率为．
      C      2在点N处的切线斜率为．
      假设C      1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
      即      ．则
      =      ，
      ∴      设，则，（1）
      令      ，则，
      ∵u＞1，∴r′（u）＞0，
      所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，
      故r（u）＞r（1）=0，则      ，与（1）矛盾！
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