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设曲线y=（ax-1）ex在点A（x，y1）处的切线为l1，曲线y=（1-x）e-x在点B（x，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x，y₂）处的切线为l₂．若存在

，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为．

试题解答

见解析

根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由

解出

，然后根据

为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．

函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为

，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为

，
由题设有k₁?k₂=-1从而有

∴a（x²-x-2）=x-3
∵

得到x²-x-2≠0，所以

，
又

，另导数大于0得1＜x＜5，
故

在（0，1）是减函数，在（1，

）上是增函数，
x=0时取得最大值为

=

；
x=1时取得最小值为1．
∴

故答案为：

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必修2 人教A版解答题高中数学

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