已知抛物线y2=2px（p＞0），过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与抛物线交于P，Q两点，l2与抛物线交于M，N两点，设l1的斜率为k．若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为．试题及答案-填空题-云返教育

试题详情

已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k．若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为

，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为．

-2pk-pk³

根据点斜式知道直线l₂的方程为y=

，设出M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则根据M，N在抛物线y²=2px（p＞0）知：

，①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂），根据斜率得到MN的中点坐标，从而得到弦MN的中垂线方程，即可求解

设出M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∵M，N在抛物线y²=2px（p＞0???
∴

①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂）
∵

∴y₁+y₂=-2kp
∵M，N在直线l₂：y=

上
∴x₁+x₂=2p（k²+1）
即弦MN的中点坐标为（p（k²+1），-kp）
∵过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k
∴

∴弦MN的中垂线的斜率为k
∴弦MN的中垂线的方程为：y+kp=k（x-p（k²+1）），
令x=0得y=-2pk-pk³
故答案为：-2pk-pk³

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