• 已知抛物线y2=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与抛物线交于P,Q两点,l2与抛物线交于M,N两点,设l1的斜率为k.若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为,则弦MN的中垂线在y轴上的截距为 .试题及答案-填空题-云返教育

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      已知抛物线y2=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与抛物线交于P,Q两点,l2与抛物线交于M,N两点,设l1的斜率为k.若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为,则弦MN的中垂线在y轴上的截距为         

      试题解答


      -2pk-pk3
      根据点斜式知道直线l2的方程为y=,设出M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则根据M,N在抛物线y2=2px(p>0)知:,①-②知(y12-y22)=2p(x1-x2),根据斜率得到MN的中点坐标,从而得到弦MN的中垂线方程,即可求解

      设出M,N的坐标分别为(x
      1,y1),(x2,y2
      ∵M,N在抛物线y
      2=2px(p>0???

      ①-②知(y
      12-y22)=2p(x1-x2
      =
      ∴y
      1+y2=-2kp
      ∵M,N在直线l
      2:y=
      ∴x
      1+x2=2p(k2+1)
      即弦MN的中点坐标为(p(k
      2+1),-kp)
      ∵过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l
      1,l2,l1与抛物线交于P,Q两点,l2与抛物线交于M,N两点,设l1的斜率为k

      ∴弦MN的中垂线的斜率为k
      ∴弦MN的中垂线的方程为:y+kp=k(x-p(k
      2+1)),
      令x=0得y=-2pk-pk
      3
      故答案为:-2pk-pk
      3
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