• 如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.(1)若BE⊥AC,求证CF⊥AB;(2)若O、E分别是BC、AC的中点,求证F也是AB的中点.试题及答案-解答题-云返教育

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      如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.
      (1)若BE⊥AC,求证CF⊥AB;
      (2)若O、E分别是BC、AC的中点,求证F也是AB的中点.

      试题解答


      见解析
      (1)根据B和P的坐标求出直线BP的斜率,同理根据A和C的坐标求出直线AC的斜率,因为两直线垂直得到斜率乘积为-1,令两斜率相乘等于-1得到一个关系式pa=-bc;然后根据P和C的坐标求出直线PC 的斜率,根据A和B的坐标求出直线AB的斜率,把两斜率相乘后,把求得的关系式代入即可得到乘积为-1,???到CF垂直于AB,得证;
      (2)由O是BC的中点且PO垂直于BC,得到直线PO为线段BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质可知:|PB|=|PC|,且|AB|=|AC|,根据等边对等角得到角PBC等于角PCB,且角ABC等于角ACB,两等式相减得到角ABP等于角ACF,又根据对顶角相等得到三角形PFB与三角形PEC全等,得到|FB|等于|EC|,所以得到|FB|等于|AB|的一半,得证.
      证明:(1)根据点B(b,0)和点P的坐标(0,p)写出直线BP的斜率为-

      由点A(0,a)和C(c,0)写出直线AC的斜率为-

      因为BE⊥AC,所以(-
      )(-)=-1,即pa=-bc;
      而由C(c,0)和P(0,p)斜率为-
      ,由A(0,a)和B(b,0)斜率为-
      则斜率之积为(-
      )(-)===-1,所以CF⊥AB;
      (2)因为O为线段BC的中点,且PO⊥BC,所以OP为线段BC的垂直平分线,
      ∴|BP|=|CP|,且|AB|=|AC|,
      ∴∠PBO=∠PCO,且∠ABC=∠ACB,
      ∴∠ABP=∠ACP,
      又∠FPB=∠EPC,
      ∴△BPF≌△CPE,
      ∴|BF|=|CE|,
      又E是线段AC的中点,所以|CE|=
      |AC|,
      则|BF|=
      |AB|,所以F为线段AB的中点.
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