• 如图,在函数y=x3-x的图象上取4个点Ai(xi,yi),过点Ai作切线li(i=1,2,3,4),如果l1∥l3,且l1,l2,l3,l4围成的图形是矩形记为M.(1)证明四边形A1A2A3A4是平行四边形;(2)问矩形M的短边与长边的比是否有最大值,若有,求l1与l2的斜率,若没有,请证明.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      如图,在函数y=x3-x的图象上取4个点Ai(xi,yi),过点Ai作切线li(i=1,2,3,4),如果l1∥l3,且l1,l2,l3,l4围成的图形是矩形记为M.
      (1)证明四边形A
      1A2A3A4是平行四边形;
      (2)问矩形M的短边与长边的比是否有最大值,若有,求l
      1与l2的斜率,若没有,请证明.

      试题解答


      见解析
      解:(1)设直线li的斜率为ki(i=1,2,3,4),
      由y′=3x
      2-1,得ki=3xi2-(12分)
      由题意k
      1=k3,k2=k4,又点A1A2A3A4不重合,故x1=-x3,x2=-x4
      从而y
      1=-y3,y2=-y4,-(5分)
      因此A
      1与A3,A2与A4都关于原点对称,
      故四边形A
      1A2A3A4是平行四边形;(7分)
      (2)有最大值; (9分)
      设k
      1>0,k2<0li:y-yi=ki(x-xi),即y-kix+2xi3=0,且k1k2=-1
      设l
      1与l3的距离为d1=
      4|x
      3
      1
      |
      1+k
      2
      1
      ,l2与l4的距离为d2=
      4|x
      3
      2
      |
      1+k
      2
      2
      d
      2
      2
      d
      1
      1
      =
      x
      6
      2
      x
      6
      1
      ?
      1+k
      2
      1
      1+k
      2
      2
      =(
      k2+1
      k1+1
      )3
      1+k
      2
      1
      1+k
      2
      2
      =
      1
      k1
      (
      k1-1
      k1+1
      )3(k>1)(11分)
      令g(x)=
      (x-1)3
      x(x+1)3
      (x>1)g′(x)=-
      (x-1)2(x2-6x-1)
      x2(x+1)4
      =
      [x-(3+
      10
      )][x-(3-
      10
      )](x-1)2
      x2(x+1)4

      当1<x<3+
      10
      时为增函数,
      当x>3+
      10
      时为减函数,
      故当x=3+
      10
      gmax(x)=
      (2+
      10
      )3
      (3+
      10
      )(4+
      10
      )3
      (14分)
      因为
      (2+
      10
      )3
      (3+
      10
      )(4+
      10
      )3
      <1,
      因此矩形M的短边与长边的比有最大值,l
      1与l2的斜率分别为3+
      10
      和3-
      10
      ,(16分)
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