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  • 如图，在函数y=x3-x的图象上取4个点Ai（xi，yi），过点Ai作切线li（i=1，2，3，4），如果l1∥l3，且l1，l2，l3，l4围成的图形是矩形记为M．（1）证明四边形A1A2A3A4是平行四边形；（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l1与l2的斜率，若没有，请证明．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在函数y=x3-x的图象上取4个点Ai（xi，yi），过点Ai作切线li（i=1，2，3，4），如果l1∥l3，且l1，l2，l3，l4围成的图形是矩形记为M．
      （1）证明四边形A      1A2A3A4是平行四边形；
      （2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l      1与l2的斜率，若没有，请证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设直线li的斜率为ki（i=1，2，3，4），
      由y′=3x      2-1，得ki=3xi2-（12分）
      由题意k      1=k3，k2=k4，又点A1A2A3A4不重合，故x1=-x3，x2=-x4，
      从而y      1=-y3，y2=-y4，-（5分）
      因此A      1与A3，A2与A4都关于原点对称，
      故四边形A      1A2A3A4是平行四边形；（7分）
      （2）有最大值； （9分）
      设k      1＞0，k2＜0li：y-yi=ki（x-xi），即y-kix+2xi3=0，且k1k2=-1
      设l      1与l3的距离为d1=
      4|x
      3
      1
      |
      √1+k
      2
      1
      ，l2与l4的距离为d2=
      4|x
      3
      2
      |
      √1+k
      2
      2
      d
      2
      2
      d
      1
      1
      =
      x
      6
      2
      x
      6
      1
      ?
      1+k
      2
      1
      1+k
      2
      2
      =(
      k2+1
      k1+1
      )3
      1+k
      2
      1
      1+k
      2
      2
      =
      1
      k1
      (
      k1-1
      k1+1
      )3（k＞1）（11分）
      令g(x)=
      (x-1)3
      x(x+1)3
      （x＞1）g′(x)=-
      (x-1)2(x2-6x-1)
      x2(x+1)4
      =
      [x-(3+
      √10
      )][x-(3-
      √10
      )](x-1)2
      x2(x+1)4
      ，
      当1＜x＜3+
      √10
      时为增函数，
      当x＞3+
      √10
      时为减函数，
      故当x=3+
      √10
      ，gmax(x)=
      (2+
      √10
      )3
      (3+
      √10
      )(4+
      √10
      )3
      （14分）
      因为
      (2+
      √10
      )3
      (3+
      √10
      )(4+
      √10
      )3
      ＜1，
      因此矩形M的短边与长边的比有最大值，l      1与l2的斜率分别为3+
      √10
      和3-
      √10
      ，（16分）
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      必修2北师大版解答题高中数学

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