已知二次函数f（x）=x2-2x+t与两坐标轴分别交于不同的三点A、B、C．（1）求实数t的取值范围；（2）当t=-3时，求经过A、B、C三点的圆F的方程；（3）过原点作两条相互垂直的直线分别交圆F于M、N、P、Q四点，求四边形MPNQ的面积的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知二次函数f（x）=x²-2x+t与两坐标轴分别交于不同的三点A、B、C．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t=-3时，求经过A、B、C三点的圆F的方程；
（3）过原点作两条相互垂直的直线分别交圆F于M、N、P、Q四点，求四边形MPNQ的面积的最大值．

见解析

解：（1）根据题意，可得

{	△=4-4t＞0 t≠0

，
解之得t＜1且t≠0，
即实数t的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）；
（2）当t=-3时，二次函数f（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴图象交x轴于点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，-3），
设经过A、B、C的圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
可得

{	(-1-a)²+(0-b)²=r² (3-a)²+(0-b)²=r² (0-a)²+(-3-b)²=r²

，解之得a=1，b=-1，r=

√5

．

∴经过A、B、C三点的圆F的方程为（x-1）²+（y+1）²=5；
（3）如图所示，作FD⊥MN、FE⊥PQ，垂足分别为D、E，
由垂径定理得D、E分别为MN、PQ的中点，
可得|MN|=2

√5-|FD|²

，|PQ|=2

√5-|FE|²

．
∵|FD|²+|FE|²=|OF|²=2
∴四边形MPNQ的面积为
S=

?|MN|?|PQ|=

×2

√5-|FD|²

×2

√5-|FE|²

√5-|FD|²

√5-|FE|²

≤（5-|FD|²）+（5-|FE|²）=10-（|FD|²+|FE|²）=8，
因此，当且仅当|FD|=|FE|=1，四边形MPNQ的面积有最大值等于8．

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