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已知函数g（x）是f（x）=x2（x＞0）的反函数，点M（x，y）、N（y，x）分别是f（x）、g（x）图象上的点，l1、l2分别是函数f（x）、g（x）的图象在M，N两点处的切线，且l1∥l2．（Ⅰ）求M、N两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O及M、N的圆的方程．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数g（x）是f（x）=x²（x＞0）的反函数，点M（x，y）、N（y，x）分别是f（x）、g（x）图象上的点，l₁、l₂分别是函数f（x）、g（x）的图象在M，N两点处的切线，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）求M、N两点的坐标；
（Ⅱ）求经过原点O及M、N的圆的方程．

试题解答

见解析

（Ⅰ）因为f（x）=x²（x＞0），所以

．
从而f'（x）=2x，

．
所以切线l₁，l₂的斜率分别为k₁=f'（x）=2x，

．
又y=x²（x＞0），所以

．
因为两切线l₁，l₂平行，所以k₁=k₂．
因为x＞0，
所以

．
所以M，N两点的坐标分别为

．
（Ⅱ）设过O、M、N三点的圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
因为圆过原点，所以F=0．因为M、N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上．
所以D=E．
又因为

在圆上，
所以

．
所以过O、M、N三点的圆的方程为：

．

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必修2 人教A版解答题高中数学

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