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  • 己知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e=√33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．（I）求椭圆的标准方程；（II） M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若|OP||OM|=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      己知椭圆C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的离心率为e=
      √3
      3
      ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
      （I）求椭圆的标准方程；
      （II） M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若
      |OP|
      |OM|
      =λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，
      ∵直线x-y+2=0与圆相切，∴d=
      2
      √2
      =b，即b=
      √2
      ，
      又e=
      √3
      3
      ，即a=
      √3
      c，
      ∵a      2=b2+c2，
      ∴a=
      √3
      ，c=1，
      ∴椭圆方程为
      x2
      3
      +
      y2
      2
      =1．
      （Ⅱ）设M（x，y），其中x∈[-
      √3
      ，
      √3
      ]．
      由已知
      |OP|2
      |OM|2
      =λ2及点点P在椭圆C上可得
      x2+2-
      2
      3
      x2
      x2+y2
      =
      x2+6
      3(x2+y2)
      =λ2，
      整理得（3λ      2-1）x2+3λ2y2=6，其中x∈[-
      √3
      ，
      √3
      ]．
      ①当λ=
      √3
      3
      时，化简得y2=6，
      ∴点M轨迹方程为y=±
      √6
      （-
      √3
      ≤x≤
      √3
      ），轨迹是两条平行于x的线段；
      ②当λ≠
      √3
      3
      时时，方程变形为
      x2
      6
      3λ2-1
      +
      y2
      6
      3λ2
      =1，其中x∈[-
      √3
      ，
      √3
      ]．
      当0＜λ＜
      √3
      3
      时，点M轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-
      √3
      ≤x≤
      √3
      的部分；
      当
      √3
      3
      ＜λ＜1时，点M轨迹为中心在原点、长轴在x上的椭圆满足-
      √3
      ≤x≤
      √3
      的部分；
      当λ≥1时，点M轨迹为中心在原点、长轴在x上的椭圆．
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