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  • （2014?资阳三模）如图，已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）点A（-2，0），B（2，0），点G是轨迹Γ上的一个动点，直线AG与直线x=2相交于点D，试判断以线段BD为直径的圆与直线GF的位置关系，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2014?资阳三模）如图，已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
      （Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
      （Ⅱ）点A（-2，0），B（2，0），点G是轨迹Γ上的一个动点，直线AG与直线x=2相交于点D，试判断以线段BD为直径的圆与直线GF的位置关系，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，
      则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，
      故Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．（2分）
      设其方程为
      x2
      a2
      +
      x2
      b2
      =1(a＞b＞0)，
      可知a=2，c=
      √a2-b2
      =1，则b=
      √3
      ，（3分）
      所以点Q的轨迹Γ的方程为为
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1．（4分）
      （Ⅱ）以线段BD为直径的圆与直线GF相切．（5分）
      由题意，设直线AG的方程为y=k（x+2）（k≠0），则点D坐标为（2，4k），BD的中点H的坐标为（2，2k）．
      联立方程组
      {
      y=k(x+2)
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1
      消去y得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，
      设G（x      0，y0），则-2x0=
      16k2-12
      3+4k2
      ，
      所以      x0=
      6-8k2
      3+4k2
      ，y0=k(x0+2)=
      12k
      3+4k2
      ，（7分）
      当k=±
      1
      2
      时，点G的坐标为(1，±
      3
      2
      )，点D的坐标为（2，±2）．
      直线GF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）      2+（y±1）2=1与直线GF相切．（9分）
      当k≠±
      1
      2
      时，则直线GF的斜率为
      12k2
      3+4k2
      6-8k2
      3+4k2
      -1
      =
      4k
      1-4k2
      ，则直线GF方程为y=
      4k
      1-4k2
      (x-1)，
      点H到直线GF的距离d=
      |
      8k
      1-4k2
      -2k-
      4k
      1-4k2
      |
      √(
      4k
      1-4k2
      )2+1
      =
      |
      2k+8k3
      1-4k2
      |
      1+4k2
      |1-4k2|
      =2|k|，又|BD|=4|k|，
      所以圆心H到直线GF的距离d=
      1
      2
      |BD|，此时，以BD为直径的圆与直线GF相切．
      综上所述，以线段BD为直径的圆与直线GF相切．（13分）
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