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  • （2009?朝阳区一模）已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；（Ⅱ）线段CA的延长线交顶点C的轨迹W于点D，当|CB|=32且点C在x轴上方时，求线段CD垂直平分线l的方程．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2009?朝阳区一模）已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
      （Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
      （Ⅱ）线段CA的延长线交顶点C的轨迹W于点D，当|CB|=
      3
      2
      且点C在x轴上方时，求线段CD垂直平分线l的方程．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）因为|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）
      所以|CB|+|CA|=2?|AB|=4，且4＞|AB|，
      由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的
      椭圆（去掉长轴的端点），
      所以a=2，c=1，b=
      √3
      ．
      故顶点C的轨迹W方程为
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1 (y≠0)．
      （Ⅱ）由（Ⅰ）得|CA|=4-|CB|=
      5
      2
      ．因为|AB|=2，|CB|=
      3
      2
      ，
      所以|CA|      2=|AB|2+|CB|2．则CB⊥AB．
      所以直线CD的斜率为
      |CB|
      |AB|
      =
      3
      4
      ．
      于是直线CD方程为y=
      3
      4
      (x+1)．
      由
      {
      y=
      3
      4
      (x+1)
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1
      得7x2+6x-13=0．设C，D两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
      则      x1+x2=-
      6
      7
      ，y1+y2=
      3
      4
      (x1+x2+2)=
      6
      7
      ．
      线段CD中点E的坐标为(-
      3
      7
      ，
      3
      7
      )，
      故CD垂直平分线l的方程为y-
      3
      7
      =-
      4
      3
      (x+
      3
      7
      )，即为28x+21y+3=0．
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