• 已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:AP?BP=k|PC|2,(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;(2)当k=2,求|2AP+BP|的最大,最小值.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:
      AP
      ?
      BP
      =k|
      PC
      |2
      (1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
      (2)当k=2,求|2
      AP
      +
      BP
      |的最大,最小值.

      试题解答


      见解析
      解:(1)设P(x,y),
      AP
      =(x,y-1),
      BP
      =(x,y+1),
      PC
      =(1-x,-y).
      当k=1时,由
      AP
      ?
      BP
      =k|
      PC
      |2,得x2+y2-1=(1-x)2+y2
      整理得:x=1,表示过(1,0)且平行于y轴的直线;
      当k≠1时,由
      AP
      ?
      BP
      =k|
      PC
      |2,得x2+y2-1=k(1-x)2+ky2
      整理得:(x+
      k
      1-k
      )2+y2=(
      1
      1-k
      )2,表示以点(-
      k
      1-k
      ,0)为圆心,以
      1
      |1-k|
      为半径的圆.
      (2)当k=2时,方程化为(x-2)
      2+y2=1,即x2+y2=4x-3,
      ∵2
      AP
      +
      BP
      =(3x,3y-1),
      ∴|2
      AP
      +
      BP
      |=
      9x2+9y2-6y+1
      ,又x2+y2=4x-3,
      ∴|2
      AP
      +
      BP
      |=
      36x-6y-26
      =
      6(6x-y)-26

      问题归结为求6x-y的最值,令t=6x-y,
      ∵点P在圆(x-2)
      2+y2=1,圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径,
      |12-t|
      37
      ≤1,解得12-
      37
      ≤t≤12+
      37

      37
      -3≤|2
      AP
      +
      BP
      |≤12+
      37
    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn