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已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:AP?BP=k|PC|2,(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;(2)当k=2,求|2AP+BP|的最大,最小值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:
AP
?
BP
=k|
PC
|
2
,
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(2)当k=2,求|2
AP
+
BP
|的最大,最小值.
试题解答
见解析
解:(1)设P(x,y),
AP
=(x,y-1),
BP
=(x,y+1),
PC
=(1-x,-y).
当k=1时,由
AP
?
BP
=k|
PC
|
2
,得x
2
+y
2
-1=(1-x)
2
+y
2
,
整理得:x=1,表示过(1,0)且平行于y轴的直线;
当k≠1时,由
AP
?
BP
=k|
PC
|
2
,得x
2
+y
2
-1=k(1-x)
2
+ky
2
,
整理得:(x+
k
1-k
)
2
+y
2
=(
1
1-k
)
2
,表示以点(-
k
1-k
,0)为圆心,以
1
|1-k|
为半径的圆.
(2)当k=2时,方程化为(x-2)
2
+y
2
=1,即x
2
+y
2
=4x-3,
∵2
AP
+
BP
=(3x,3y-1),
∴|2
AP
+
BP
|=
√
9x
2
+9y
2
-6y+1
,又x
2
+y
2
=4x-3,
∴|2
AP
+
BP
|=
√
36x-6y-26
=
√
6(6x-y)-26
.
问题归结为求6x-y的最值,令t=6x-y,
∵点P在圆(x-2)
2
+y
2
=1,圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径,
∴
|12-t|
√
37
≤1,解得12-
√
37
≤t≤12+
√
37
.
∴
√
37
-3≤|2
AP
+
BP
|≤12+
√
37
.
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必修2
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解答题
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轨迹方程
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