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  • 已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足：AP?BP=k|PC|2，（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求|2AP+BP|的最大，最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足：
      AP
      ?
      BP
      =k|
      PC
      |2，
      （1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
      （2）当k=2，求|2
      AP
      +
      BP
      |的最大，最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设P（x，y），
      AP
      =(x，y-1)，
      BP
      =(x，y+1)，
      PC
      =(1-x，-y)．
      当k=1时，由
      AP
      ?
      BP
      =k|
      PC
      |2，得x2+y2-1=（1-x）2+y2，
      整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；
      当k≠1时，由
      AP
      ?
      BP
      =k|
      PC
      |2，得x2+y2-1=k（1-x）2+ky2，
      整理得：(x+
      k
      1-k
      )2+y2=(
      1
      1-k
      )2，表示以点(-
      k
      1-k
      ，0)为圆心，以
      1
      |1-k|
      为半径的圆．
      （2）当k=2时，方程化为（x-2）      2+y2=1，即x2+y2=4x-3，
      ∵2
      AP
      +
      BP
      =(3x，3y-1)，
      ∴|2
      AP
      +
      BP
      |=
      √9x2+9y2-6y+1
      ，又x2+y2=4x-3，
      ∴|2
      AP
      +
      BP
      |=
      √36x-6y-26
      =
      √6(6x-y)-26
      ．
      问题归结为求6x-y的最值，令t=6x-y，
      ∵点P在圆（x-2）      2+y2=1，圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径，
      ∴
      |12-t|
      √37
      ≤1，解得12-
      √37
      ≤t≤12+
      √37
      ．
      ∴
      √37
      -3≤|2
      AP
      +
      BP
      |≤12+
      √37
      ．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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