• 在平面直角坐标系xOy中,过点A(-2,-1)椭圆C∶=1(a>b>0)的左焦点为F,短轴端点为B1、B2,=2b2.(1)求a、b的值;(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q,与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR=3OP2,求直线l的方程.试题及答案-解答题-云返教育

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      在平面直角坐标系xOy中,过点A(-2,-1)椭圆C∶=1(a>b>0)的左焦点为F,短轴端点为B1、B2=2b2.
      (1)求a、b的值;
      (2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q,与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR=3OP
      2,求直线l的方程.

      试题解答


      见解析
      (1)因为F(-c,0),B1(0,-b),B2(0,b),所以=(c,-b),=(c,b).
      因为
      =2b2
      所以c
      2-b2=2b2.①
      因为椭圆C过A(-2,-1),代入得,
      =1.②
      由①②解得a
      2=8,b2=2.
      所以a=2
      ,b=.
      (2)由题意,设直线l的方程为y+1=k(x+2).
      得(x+2)[(4k2+1)(x+2)-(8k+4)]=0.
      因为x+2≠0,所以x+2=
      ,即xQ+2=.
      由题意,直线OP的方程为y=kx.
      得(1+4k2)x2=8.则
      因为AQ·AR=3OP
      2.所以|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3.
      ×2=3×.
      解得k=1,或k=-2.
      当k=1时,直线l的方程为x-y+1=0,当k=-2时,直线l的方程为2x+y+5=0
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