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  • 如图，已知：椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为P，离心率e=√63，长轴长为4√3；点M为抛物线y2=6x上一动点，过M作抛物线的切线l与椭圆相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）若∠APB为钝角，试求直线AB的斜率范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知：椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的上顶点为P，离心率e=
      √6
      3
      ，长轴长为4
      √3
      ；点M为抛物线y2=6x上一动点，过M作抛物线的切线l与椭圆相交于不同的两点A，B．
      （Ⅰ）试求椭圆的方程；
      （Ⅱ）若∠APB为钝角，试求直线AB的斜率范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意，椭圆的离心率e=
      √6
      3
      ，长轴长为4
      √3
      ，
      ∴a=2
      √3
      ，c=2
      √2

      ∴b=
      √a2-c2
      =2
      ∴椭圆的方程为
      x2
      12
      +
      y2
      4
      =1…（5分）
      （Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；
      若斜率存在，则可设直线l：y=kx+t代入
      x2
      12
      +
      y2
      4
      =1化简得：（3k2+1）x2+6ktx+3t2-12=0
      设A（x      1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
      6kt
      3k2+1
      ，x1x2=
      3t2-12
      3k2+1
      ，
      ∴y      1+y2=k（x1+x2）+2t，y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2…（8分）
      △=36k      2t2-4（3k2+1）（3t2-12）＞0得：12k2-t2+4＞0…（1）…（9分）
      y=kx+t代入y      2=6x得：k2x2+（2kt-6）x+t2=0
      △=4k      2t2-24kt+36-4k2t2=0，∴t=
      3
      2k
      …（2）…（10分）
      ∵∠APB为钝角，∴
      PA
      ?
      PB
      ＜0
      ∴(x      1，y1-2)?(x2，y2-2)=x1x2+k2x1x2+(kt-2k)(x1+x2)+t2-4t+4＜0
      化简得：t      2-t-2＜0解得：-1＜t＜2…（3）…（13分）
      由（1）（2）得      k2＞
      √31
      -2
      12
      ，∴k＜-
      √
      √31
      -2
      12
      或k＞
      √
      √31
      -2
      12

      由（2）（3）得 k=
      3
      2t
      （-1＜t＜2）得：k＜-
      3
      2
      或k＞
      3
      4

      ∴k＜-
      3
      2
      或k＞
      3
      4
      …（15分）
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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