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  • 点B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，△B1B2F为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1．（1）求椭圆方程；（2）求经过点O、F且与右准线l相切的圆的方程．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      点B1，B2是椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，△B1B2F为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1．
      （1）求椭圆方程；
      （2）求经过点O、F且与右准线l相切的圆的方程．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为△B1B2F为正三角形，OF=c，OB2=b，B2F=a，
      所以e=
      c
      a
      =
      OF
      FB2
      =cos30°=
      √3
      2
      ．…（3分）
      准线l的方程：x=
      a2
      c
      ，
      所以
      {
      c
      a
      =
      √3
      2
      ，
      a2
      c
      -c=1
      解之得
      {
      a=2
      √3
      c=3，
      …（6分）
      于是b=
      √3
      ．
      故椭圆方程为
      x2
      12
      +
      y2
      3
      =1．…（7分）
      （2）设所求圆的圆心为D，由（1）知椭圆的右准线方程为x=4，…（8分）
      因为圆D过点O，F，且与直线x=4相切，
      所以可设圆心D(
      3
      2
      ， m)，半径为
      5
      2
      ，
      于是圆D的方程为(x-
      3
      2
      )2+(y-m)2=
      25
      4
      ，…（11分）
      因为点O（0，0）在圆D上，
      所以
      9
      4
      +m2=
      25
      4
      ，解得m=2或m=-2，
      所求圆的方程为(x-
      3
      2
      )2+(y-2)2=
      25
      4
      或(x-
      3
      2
      )2+(y+2)2=
      25
      4
      ．…（14分）
      标签
      选修1-1人教A版解答题高中数学

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