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  • （2010?衡阳模拟）如图，椭圆x2a2+y2b2=1上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤π2；（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是20√3，求此时椭圆的方程．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?衡阳模拟）如图，椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
      （1）求椭圆的离心率；
      （2）F      2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤
      π
      2
      ；
      （3）过F      1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是20
      √3
      ，求此时椭圆的方程．

      试题解答

      见解析
      解：（1）易得M(c，
      b2
      a
      )，kOM=
      b2
      ac
      ，kAB=
      b
      a
      ，∴
      b2
      ac
      =
      b
      a
      ?b=c?a=
      √2
      c，∴e=
      c
      a
      =
      √2
      2
      ．
      （2）证明：由椭圆定义得：|F      1C|+|F2C|=2a，cos∠F1CF2=
      |F1C|2+|F2C|2-|F1F2|2
      2|F1C||F2C|
      =
      4a2-4c2-2|F1C||F2C|
      2|F1C||F2C|
      =
      2b2
      |F1C||F2C|
      -1．|F1C||F2C|???(
      |F1C|+|F2C|
      2
      )2=a2，
      ∴cos∠F      1CF2≥
      2b2
      a2
      -1=
      2c2
      2c2
      -1=0，∴∠F1CF2≤
      π
      2
      ．
      （3）解：设直线PQ的方程为y=-
      a
      b
      （x-c），即y=-
      √2
      (x-c)．
      代入椭圆方程消去x得：
      (1-
      1
      √2
      y+c)2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1，
      整理得：5y      2-2
      √2
      cy-2c2=0，∴y1+y2=
      2
      √2
      c
      5
      ，y1?y2=-
      2c2
      5
      ．
      ∴(y      1-y2)2=(
      2
      √2
      c
      5
      )2+
      8c2
      5
      =
      48c2
      25
      ．S△PF2Q=
      1
      2
      ?2c?|y1-y2|=
      4
      √3
      c2
      5
      =20
      √3
      ，c2=25，
      因此a      2=50，b2=25，所以椭圆方程为
      x2
      50
      +
      y2
      25
      =1．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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