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  • 已知A，B为椭圆x24+y23=1的左右两个顶点，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上异于A、B点的任意一点，直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点，则△MFN面积的最小值是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知A，B为椭圆
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1的左右两个顶点，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上异于A、B点的任意一点，直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点，则△MFN面积的最小值是（　　）

      试题解答

      B
      解：设P（s，t），由题意直线PA的方程为
      y
      t
      +
      x-2
      s+2
      =1，即，直线PB的方程为
      y
      t
      +
      x+2
      s-2
      =1
      由于椭圆
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1故a=2，b=
      √3
      ，c=1，故其右准线方程为x=
      a2
      c
      =4，F（1，0），故F到准线的距离是3
      ∵直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点
      ∴M（4，
      6
      s+2
      t），N（4，
      2
      s-2
      t）
      故有|MN|=|
      6
      s+2
      t-
      2
      s-2
      t|=|
      4t(s-4)
      s2-4
      |
      ∴S      2=
      1
      4
      ×|MN|2×9=
      9
      4
      ×|
      4t(s-4)
      s2-4
      |①
      又P（s，t）在椭圆上，故有      t2=3-
      s2
      4
      代入①整理得S2=27×
      (4-s)2
      4-s2

      令M      2=
      (4-s)2
      4-s2
      得（M2+1）s2-8s+16-4M2=0，此方程恒有根
      故△=64-4（M      2+1）（16-4M2）≥0
      解得M      2≥3，故M≥
      √3
      或M≤-
      √3
      （舍）
      ∴S      2=27×
      (4-s)2
      4-s2
      ≥27×3
      ∴S≥9
      故选B．
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      选修1-1人教A版单选题高中数学

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