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  • 已知椭圆x23+y22=1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：x023+y022＜1；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆
      x2
      3
      +
      y2
      2
      =1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P
      （Ⅰ）设P点的坐标为（x      0，y0），证明：
      x02
      3
      +
      y02
      2
      ＜1；
      （Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

      试题解答

      见解析
      证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距c=
      √3-2
      =1，
      由AC⊥BD知点P在以线段F      1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，
      所以，
      x
      2
      0
      3
      +
      y
      2
      0
      2
      ≤
      x
      2
      0
      2
      +
      y
      2
      0
      2
      =
      1
      2
      ＜1．
      （Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
      代入椭圆方程
      x2
      3
      +
      y2
      2
      =1，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0．
      设B（x      1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=-
      6k2
      3k2+2
      ，x1x2=
      3k2-6
      3k2+2

      |BD|=
      √1+k2
      ?|x1-x2|=
      √(1+k2)?[(x1+x2)2-4x1x2]
      =
      4
      √3
      (k2+1)
      3k2+2
      ；
      因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为-
      1
      k
      ，
      所以，|AC|=
      4
      √3
      (
      1
      k2
      +1)
      3×
      1
      k2
      +2
      =
      4
      √3
      (k2+1)
      2k2+3
      ．
      四边形ABCD的面积S=
      1
      2
      ?|BD||AC|=
      24(k2+1)2
      (3k2+2)(2k2+3)
      ≥
      24(k2+1)2
      [
      (3k2+2)+(2k2+3)
      2
      ]2
      =
      96
      25
      ．
      当k      2=1时，上式取等号．
      （ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
      综上，四边形ABCD的面积的最小值为
      96
      25
      ．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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