• 已知椭圆x23+y22=1的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:x023+y022<1;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      已知椭圆
      x2
      3
      +
      y2
      2
      =1的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P
      (Ⅰ)设P点的坐标为(x
      0,y0),证明:
      x02
      3
      +
      y02
      2
      <1;
      (Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.

      试题解答


      见解析
      证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距c=
      3-2
      =1,
      由AC⊥BD知点P在以线段F
      1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,
      所以,
      x
      2
      0
      3
      +
      y
      2
      0
      2
      x
      2
      0
      2
      +
      y
      2
      0
      2
      =
      1
      2
      <1.
      (Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),
      代入椭圆方程
      x2
      3
      +
      y2
      2
      =1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.
      设B(x
      1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-
      6k2
      3k2+2
      x1x2=
      3k2-6
      3k2+2

      |BD|=
      1+k2
      ?|x1-x2|=
      (1+k2)?[(x1+x2)2-4x1x2]
      =
      4
      3
      (k2+1)
      3k2+2

      因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-
      1
      k

      所以,|AC|=
      4
      3
      (
      1
      k2
      +1)
      1
      k2
      +2
      =
      4
      3
      (k2+1)
      2k2+3

      四边形ABCD的面积S=
      1
      2
      ?|BD||AC|=
      24(k2+1)2
      (3k2+2)(2k2+3)
      24(k2+1)2
      [
      (3k2+2)+(2k2+3)
      2
      ]2
      =
      96
      25

      当k
      2=1时,上式取等号.
      (ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.
      综上,四边形ABCD的面积的最小值为
      96
      25

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