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  • 在直角坐标系xOy中???点M到点F1(-√3，0)、F2(√3，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y=kx+√2与轨迹C交于不同的两点P和Q．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使OP?OQ=0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在直角坐标系xOy中???点M到点F1(-
      √3
      ，0)、F2(
      √3
      ，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y=kx+
      √2
      与轨迹C交于不同的两点P和Q．
      （Ⅰ）求轨迹C的方程；
      （Ⅱ）是否存在常数k，使
      OP
      ?
      OQ
      =0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵点M到(-
      √3
      ，0)，(
      √3
      ，0)的距离之和是4，
      ∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为2
      √3
      的椭圆，其方程为
      x2
      4
      +y2=1．
      （Ⅱ）将y=kx+
      √2
      ，代入曲线C的方程，
      整理得(1+4k      2)x2+8
      √2
      kx+4=0．①
      设P（x      1，y1），Q（x2，y2），由方程①，得x1+x2=-
      8
      √2
      k
      1+4k2
      ，x1x2=
      4
      1+4k2
      ．②
      又      y1?y2=(kx1+
      √2
      )(kx2+
      √2
      )=k2x1x2+
      √2
      k(x1+x2)+2．③
      若
      OP
      ?
      OQ
      =0，则x1x2+y1y2=0，
      将②、③代入上式，解得k=±
      √6
      2
      ．
      又因k的取值应满足△＞0，即4k      2-1＞0（*），
      将k=±
      √6
      2
      代入（*）式知符合题意．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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