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  • 已知：椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过（0，1）点，离心率e=√22；直线l：y=kx+m（m＞0）与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B，（O为坐标原点）．Ⅰ．求椭圆C的方程及m与k的关系式m=f（k）；Ⅱ．设＜OA，OB＞=θ，且满足|OA|=√2，|OB|=√103，cosθ=√55求直线l的方程；Ⅲ．在Ⅱ．的条件下，求三角形AOB的面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知：椭圆C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）过（0，1）点，离心率e=
      √2
      2
      ；直线l：y=kx+m（m＞0）与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B，（O为坐标原点）．
      Ⅰ．求椭圆C的方程及m与k的关系式m=f（k）；
      Ⅱ．设＜
      OA
      ，
      OB
      ＞=θ，且满足|
      OA|
      =
      √2
      ，|
      OB
      |=
      √10
      3
      ，cosθ=
      √5
      5
      求直线l的方程；
      Ⅲ．在Ⅱ．的条件下，求三角形AOB的面积．

      试题解答

      见解析
      解：Ⅰ．∵椭圆C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1，过（0，1）点，∴b=1，
      e=
      c
      a
      =
      √a2-b2
      a
      =
      √2
      2
      ∴a2=2，
      ∴椭圆C方程为：
      x2
      2
      +y2=1；
      ∵直线l：y=kx+m（m＞0）与圆x      2+y2=1相切，
      ∴
      |m|
      √1+k2
      =1，m=
      √1+k2
      ，即m=f(k)=
      √1+k2
      ；
      Ⅱ．
      {
      y=kx+m
      x2
      2
      +y2=1
      消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
      △=8k      2＞0，∴k≠0
      设A（x      1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
      -4km
      2k2+1
      ，x1?x2=
      2m2-2
      2k2+1
      ，
      OA
      ?
      OB
      =|
      OA
      |?|
      OB
      |?cosθ=
      √2
      ?
      √10
      3
      ?
      √5
      5
      =
      2
      3
      ；
      又
      OA
      ?
      OB
      =(x1，y1)(x2，y2)=x1x2+y1y2═
      k2+1
      2k2+1
      =
      2
      3

      k      2=1，k=±1；∴m=f(k)=
      √1+k2
      =
      √2
      ，
      直线l的方程为：y=x+
      √2
      或y=-x+
      √2
      ，
      Ⅲ．由Ⅱ．知k=±1；m=
      √2
      消去y得3x2±4
      √2
      x+2=0，
      x1+x2=
      4
      √2
      3
      ，x1x2=
      2
      3
      由弦长公式：|AB|=
      4
      3
      ，
      ∴      S△AOB=
      1
      2
      ?1?|AB|=
      2
      3
      ，
      ∵|
      OA
      |=
      √2
      ∴A(±
      √2
      ，0)
      ∴直线AB过(±
      √2
      ，0)点；
      ∵＜
      OA
      ，
      OB
      ＞=θ，
      且cosθ=
      √5
      5
      ∴sinθ=
      2
      √5
      5
      ，kOB=tanθ=±2
      ∴l      OB：y=±2x，与
      x2
      2
      +y2=1
      联立解得：x=
      √2
      3
      ，y=-
      2
      √2
      3
      或x=-
      √2
      3
      ，y=
      2
      √2
      3

      即      B1(-
      √2
      3
      ，
      2
      √2
      3
      )，B2(
      √2
      3
      ，-
      2
      √2
      3
      )，
      由两点得AB的方程???：y=±x+
      √2
      ，
      由前面解知：|OA|为三角形的底边，|y      B|为三角形的高，|yB|=
      2
      √2
      3
      ，S△AOB=
      1
      2
      |
      OA
      |?|yB|=
      1
      2
      ×
      √2
      ×
      2
      √2
      3
      =
      2
      3
      ．
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