设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，12）的距离比点P到x轴的距离大12．（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线l：y=x+1与点P的轨迹相交于A、B两点，求线段AB的长；（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y0）是曲线C上一点，求过点Q的曲线C的切线方程．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，

）的距离比点P到x轴的距离大

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=x+1与点P的轨迹相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y₀）是曲线C上一点，求过点Q的曲线C的切线方程．

见解析

解：（1）用直接法或定???法求得点P轨迹方程为x²=2y．
（2）联立y=x+1与x²=2y化简得x²-2x-2=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，
|AB|=

√(1+1²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]

√6

．
（3）曲线C即函数y=

x²

的图象，y′=x，y′|_x=1=1，又Q（1，

），
故所求切线方程为y-

=1?（x-1）即x-y-

=0．

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