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  • 已知向量m=(sin2x+1+cos2x2，sinx)，n=(12cos2x-√32sin2x，2sinx)，设函???f(x)=m?n，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[0，π2]，求函数f（x）值域．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知向量
      m
      =(sin2x+
      1+cos2x
      2
      ，sinx)，
      n
      =(
      1
      2
      cos2x-
      √3
      2
      sin2x，2sinx)，设函???f(x)=
      m
      ?
      n
      ，x∈R．
      （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
      （Ⅱ）若x∈[0，
      π
      2
      ]，求函数f（x）值域．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵向量
      m
      =(sin2x+
      1+cos2x
      2
      ，sinx)，
      n
      =(
      1
      2
      cos2x-
      √3
      2
      sin2x，2sinx)，
      ∴f(x)=
      m
      ?
      n
      =
      1
      2
      cos2x-
      √3
      2
      sin2x+2sin2x=1-
      1
      2
      cos2x-
      √3
      2
      sin2x=1-sin(2x+
      π
      6
      )．（4分）
      所以其最小正周期为T=
      2π
      2
      =π．（6分）
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+
      π
      6
      )，
      又∵x∈[0，
      π
      2
      ]，∴2x+
      π
      6
      ∈[
      π
      6
      ，
      7π
      6
      ]，sin(2x+
      π
      6
      )∈[-
      1
      2
      ，1]
      ∴1-sin(2x+
      π
      6
      )∈[0，
      3
      2
      ]．（10分）
      所以函数f（x）的值域为[0，
      3
      2
      ]．（12分）
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