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  • 已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°．（1）在???BC上取一点P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数；（2）设f（θ）=PA+PB+PC，当θ为何值时f（θ）有最大值，最大值是多少？试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°．
      （1）在      ???BC上取一点P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数；
      （2）设f（θ）=PA+PB+PC，当θ为何值时f（θ）有最大值，最大值是多少？

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意知，AB为直径的半圆的半径为a，0°＜2θ＜120°，∴0°≤θ≤60°，
      △PAO中，由余弦定理得 PA=
      √a2+a2-2a?acos(180°-2θ)
      =2acosθ，
      同理可求得 PB=
      √a2+a2-2a?acos2θ
      =2asinθ，
      PC=
      √a2+a2-2a?acos(120°-2θ)
      =2asin（60°-θ），
      ∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin（60°-θ）=2asinθ+2acosθ+2a（
      √3
      2
      cosθ-
      1
      2
      sinθ）
      =asinθ+（2+
      √3
      ）acosθ．
      （2）f（θ）=PA+PB+PC=asinθ+（2+
      √3
      ）acosθ=2a
      √2+
      √3
      （
      1
      2
      √2+
      √3
      sinθ+
      2+
      √3
      2
      √2+
      √3
      cosθ）
      令cosα=
      1
      2
      √2+
      √3
      ，sinα=
      2+
      √3
      2
      √2+
      √3
      ，则 f（θ）=2a
      √2+
      √3
      sin（θ+α），
      取锐角α，则α=arcsin
      2+
      √3
      2
      √2+
      √3
      ＞45°，故 当θ=90°-arcsin
      2+
      √3
      2
      √2+
      √3
      时，sin（θ+α）=1取得最大值，
      此时，f（θ）取最大值 2a
      √2+
      √3
      ．
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