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  • 如图，在半径为2√3、圆心角为60°的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设矩形PNMQ的面积为y．（Ⅰ）按下列要求求出函数关系式并写出定义域：①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，求y的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在半径为2
      √3
      、圆心角为60°的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设矩形PNMQ的面积为y．
      （Ⅰ）按下列要求求出函数关系式并写出定义域：
      ①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；
      ②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式．
      （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，求y的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）①因为QM=PN=x，所以OM=
      QM
      tan600
      =
      x
      √3
      ，又ON=
      √12-x2
      ，
      所以MN=ON-OM=
      √12-x2
      -
      x
      √3
      ，
      故y=MN?PN=x?
      √12-x2
      -
      √3
      x2
      3
      （0＜x＜3），
      ②当∠POB=θ时，QM=PN=2
      √3
      sinθ，则OM=
      QM
      tan600
      =2sinθ，又ON=2
      √3
      cosθ，
      所以MN=ON-OM=2
      √3
      cosθ-2sinθ，
      故y=MN?PN=12sinθcosθ-4
      √3
      sin2θ（0＜θ＜
      π
      3
      ），
      （2）由②得y=6sin2θ-2
      √3
      (1-cos2θ)=4
      √3
      sin(2θ+
      π
      6
      )-2
      √3
      ，
      故当θ=
      π
      6
      时，y取得最大值为2
      √3
      ．
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      必修4人教A版解答题高中数学

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