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  • 定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．（1）若关于x的不等式2ax2-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；（2）求关于x的不等式，x∈[0，2π]的解集构成的各区间的长度和；（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
      （1）若关于x的不等式2ax      2-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
      （2）求关于x的不等式      ，x∈[0，2π]的解集构成的各区间的长度和；
      （3）已知关于x的不等式组      的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）a=0时不合题意； （1分）
      a≠0时，方程2ax      2-12x-3=0的两根设为x1、x2，则，，
      由题意知      ，（2分）
      解得a=-2或a=3（舍），（3分）
      所以a=-2． （4分）
      （2）因为      ==，
      原不等式即为      ，x∈[0，2π]（6分）
      不等式      的解集为，（7分）
      所以原不等式的解集为      （8分）
      各区间的长度和为      （9分）
      （3）先解不等式      ，整理得，即x（x-6）＜0
      所以不等式      的解集A=（0，6）（10分）
      设不等式log      2x+log2（tx+3t）＜2的解集为B，不等式组的解集为A∩B
      不等式log      2x+log2（tx+3t）＞2等价于（11分）
      又A∩B?（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组      ，
      当x∈（0，6）时，恒成立 （12分）
      当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0（13分）
      当x∈（0，6）时，不等式tx      2+3tx-4＜0恒成立，即恒成立 （14分）
      当x∈（0，6）时，      的取值范围为，所以实数（15分）
      综上所述，t的取值范围为      （16分）
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