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  • 已知函数f(x)=cosx4?cos(π2-x4)?cos(π-x2)（1）将函数f（x）的解析式化简；（2）若将函数f（x）在（0，+∞）的所有极值点从小到大排成一数列记为{an}，求数列{an}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若令bn=1an?an+1，求数列{bn}前n项和Tn．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=cos
      x
      4
      ?cos(
      π
      2
      -
      x
      4
      )?cos(π-
      x
      2
      )
      （1）将函数f（x）的解析式化简；
      （2）若将函数f（x）在（0，+∞）的所有极值点从小到大排成一数列记为{a      n}，求数列{an}的通项公式；
      （3）在（2）的条件下，若令      bn=
      1
      an?an+1
      ，求数列{bn}前n项和Tn．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）=cos
      x
      4
      sin
      x
      4
      （-cos
      x
      2
      ）=-
      1
      2
      sin
      x
      2
      cos
      x
      2
      =-
      1
      4
      sinx．
      （2）由（1）知，f′（x）=-
      1
      4
      cosx，
      令f′（x）=0得：cosx=0，
      ∴x=kπ+
      π
      2
      ，k∈Z．
      又x＞0，
      ∴极值点从小到大排列依次为：
      π
      2
      ，
      3π
      2
      ，
      5π
      2
      ，…
      (2n-1)π
      2
      ，
      故数列{a      n}的通项公式为：an=
      (2n-1)π
      2
      ．
      （3）由（2）知，b      n=
      1
      (2n-1)π
      2
      ?
      (2n+1)π
      2
      =
      4
      π2
      ?
      1
      (2n-1)(2n+1)
      =
      2
      π2
      （
      1
      2n-1
      -
      1
      2n+1
      ），
      ∴T      n=
      2
      π2
      [（1-
      1
      3
      ）+（
      1
      3
      -
      1
      5
      ）+…+（
      1
      2n-1
      -
      1
      2n+1
      ）]
      =
      2
      π2
      （1-
      1
      2n+1
      ）=
      4n
      π2(2n+1)
      ．
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