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  • 已知函数f(x)=2(cos2x+√3sinxcosx)+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=2(cos2x+
      √3
      sinxcosx)+1．
      （Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其单调递增区间；
      （Ⅱ）当x∈[0，
      π
      2
      ]时，求f（x）的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵函数f(x)=2(cos2x+
      √3
      sinxcosx)+1=cos2x+
      √3
      sin2x+2
      =2sin（
      π
      6
      +2x）+2，
      故它的最小正周期等于
      2π
      2
      =π．
      令 2kπ-
      π
      2
      ≤
      π
      6
      +2x≤2kπ+
      π
      2
      ，k∈z，可得kπ-
      π
      3
      ≤x≤kπ+
      π
      6
      ，k∈z，
      故函数的单调增区间[kπ-
      π
      3
      ，kπ+
      π
      6
      ](k∈Z)．
      （Ⅱ）当x∈[0，
      π
      2
      ]时，
      π
      6
      +2x∈[
      π
      6
      ，
      7π
      6
      ]，sin（
      π
      6
      +2x）∈[-
      1
      2
      ，1]，
      2sin（
      π
      6
      +2x）+2∈[1，4]，
      故函数的值域为[1，4]．
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