（12分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn，并证明你的结论；（Ⅲ）求试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

（12分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为

；

（Ⅰ）求数列

的通项公式

；
（Ⅱ）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论；
（Ⅲ）求

试题解答

见解析

【解析】
（Ⅰ）由框图，知数列

………2分
∴

………4分
（Ⅱ）由框图，知数列{y_n}中，y_n₊₁=3y_n+2 ………5分
∴

………6分
∴

∴数列{y_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
∴

+1=3·3ⁿ^－1=3ⁿ
∴

=3ⁿ－1（

） ………8分
（Ⅲ）z_n=

=1×（3－1）+3×（3²－1）+…+（2n－1）（3ⁿ－1）
=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ－[1+3+…+（2n－1）] ………9分
记S_n=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ，①
则3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n－1）×3ⁿ⁺¹②
①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2（3+3²+…+3ⁿ）－3－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2×