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  • （2011?普陀区二模）（理）已知函数f(x)=ln(2-x2)|x+2|-2．（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；（3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．（1）求证：F＜0；（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且AB?AD=0，求D2+E2-4F的值；（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2011?普陀区二模）（理）已知函数f(x)=
      ln(2-x2)
      |x+2|-2
      ．
      （1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
      （2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
      （3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
      {a      n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
      （文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x      2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
      （1）求证：F＜0；
      （2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
      AB
      ?
      AD
      =0，求D2+E2-4F的值；
      （3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
      断点O、G、H是否共线，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由
      {
      2-x2＞0
      |x+2|-2≠0

      得x∈(-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )，
      则f(x)=
      ln(2-x2)
      x
      ，任取x∈(-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )，
      都有f（-x）=-
      ln(2-x2)
      x
      =-f（x），则该函数为奇函数．
      （2）任取0＜x      1＜x2＜1，
      则有0＜x      12＜x22＜1?2-x12＞2-x22＞1，?ln（2-x12）＞ln（2-x22）＞0．
      又
      1
      x1
      ＞
      1
      x2
      ＞1，
      所以
      ln(2-x
      2
      1
      )
      x1
      ＞
      ln(2-x
      2
      2
      )
      x2
      ，
      即f（x      1）＞f（x2），
      故函数f（x）在区间（0，1）上单调递减．
      （3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{a      n}要满足条件，
      则必有f（a      1）+f（a2）+…+f（a10）=0．
      由（1）知函数f（x）是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，
      所以要构造满足条件的等差数列{a      n}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}
      满足：a      1+a10=a2+a9═a5+a6=0
      且      an∈(-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )即可．
      我们可以先确定a      5，a6使得a5+a6=0，因为公差不为零的等差数列{an}必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在(-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )中，即可满足要求．
      所以只要a      5，a6
      对应的点尽可能的接近原点．如取a      5=-0.1，a6=0.1，存在满足条件的一个等差数列{an}可以是an=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N*）．
      （文科）（1）由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为A（a，0），C（c，0），
      则有ac＜0．
      对于圆方程x      2+y2+Dx+Ey+F=0，
      当y=0时，可得x      2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F．
      因为ac＜0，故F＜0．
      （2）对角线互相垂直的四边形ABCD面积S=
      |AC|?|BD|
      2
      ，
      因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8．
      又因为
      AB
      ?
      AD
      =0，
      所以∠A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，
      故|BD|=2r=8?r=4．
      对于方程x      2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，
      可知
      D2
      4
      +
      E2
      4
      -F=r2，
      所以D      2+E2-4F=4r2=64．
      （3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
      则可得点G的坐标为(
      c
      2
      ，
      d
      2
      )，即
      OG
      =(
      c
      2
      ，
      d
      2
      )．
      又
      AB
      =(-a，b)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三点共线，只需证
      AB
      ?
      OG
      =0即可．
      而
      AB
      ?
      OG
      =
      bd-ac
      2
      ，且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
      当y=0时可得x      2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
      于是有x      AxC=ac=F．
      同理，当x=0时，可得y      2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，
      于是有y      ByD=bd=F．
      所以，
      AB
      ?
      OG
      =
      bd-ac
      2
      =0，即AB⊥OG．
      故O、G、H必定三点共线．
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