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  • 眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化“知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（I）分别求“甲队得2分乙队得1分”和“甲队得3分乙队得0分”的概率；（II）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化“知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
      2
      3
      ，乙队中3人答对的概率分别为
      2
      3
      ，
      2
      3
      ，
      1
      2
      ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
      （I）分别求“甲队得2分乙队得1分”和“甲队得3分乙队得0分”的概率；
      （II）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）记甲队得2分乙队得1分为事件A，记甲队得3分乙队得0分为事件B；
      甲队得2分的概率P      1=C32×（
      2
      3
      ）2×（1-
      2
      3
      ）=
      4
      9
      ，
      乙队的1分的概率P      2=
      2
      3
      ×（1-
      2
      3
      ）×（1-
      1
      2
      ）+（1-
      2
      3
      ）×
      2
      3
      ×（1-
      1
      2
      ）+（1-
      2
      3
      ）×（1-
      2
      3
      ）×
      1
      2
      =
      5
      18
      ，
      则P（A）=
      4
      9
      ×
      5
      18
      =
      10
      81
      ；
      甲队得3分的概率P      3=C33×（
      2
      3
      ）3=
      8
      27
      ，
      乙队的0分的概率P      4=（1-
      2
      3
      ）×（1-
      2
      3
      ）×（1-
      1
      2
      ）=
      1
      18
      ，
      则P（B）=
      8
      27
      ×
      1
      18
      =
      4
      243
      ；
      （Ⅱ）由题意，ξ可取的值为0、1、2、3，
      ξ=0，即甲队得0分，3人都回答错误，P(ξ=0)=      C
      0
      3
      ×(1-
      2
      3
      )3=
      1
      27
      ，
      ξ=1，即甲队得1分，3人中只有1人回答正确，P(ξ=1)=      C
      1
      3
      ×
      2
      3
      ×(1-
      2
      3
      )2=
      2
      9
      ，
      ξ=2，即甲队得2分，3人中只有2人回答正确，P(ξ=2)=      C
      2
      3
      ×(
      2
      3
      )2×(1-
      2
      3
      )=
      4
      9
      ，
      ξ=3，即甲队得3分，3人都回答正确，P(ξ=3)=      C
      3
      3
      ×(
      2
      3
      )3=
      8
      27
      ．
      所以ξ的分布列为

      ξ的数学期望为Eξ=0×
      1
      27
      +1×
      2
      9
      +2×
      4
      9
      +3×
      8
      27
      =2．
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