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  • 已知a=（cosx+sinx，sinx），b=（cosx-sinx，2cosx）．（I）求证：向量a与向量b不可能平行；（II）若a?b=1，且x∈[-π，0]，求x的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知
      a
      =（cosx+sinx，sinx），
      b
      =（cosx-sinx，2cosx）．
      （I）求证：向量
      a
      与向量
      b
      不可能平行；
      （II）若
      a
      ?
      b
      =1，且x∈[-π，0]，求x的值．

      试题解答

      见解析
      解：（I）假设
      a
      ∥
      b
      ，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
      1+cosxsinx+cos      2x=0，即1+
      1
      2
      sin2x+
      1+cos2x
      2
      =0，
      ∴
      √2
      sin（2x+
      π
      4
      ）=-3，解得sin（2x+
      π
      4
      ）=-
      3
      √2
      2
      ＜-1，故不存在这种角满足条件，
      故假设不成立，即
      a
      与
      b
      不可能平行．
      （II）由题意得，
      a
      ?
      b
      =（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=
      √2
      sin（2x+
      π
      4
      ）=1，
      ∵x∈[-π，0]，∴-2π＜2x＜0，即-
      7π
      4
      ＜2x+
      π
      4
      ＜
      π
      4
      ，
      ∴2x+
      π
      4
      =-
      5π
      4
      或
      π
      4
      ，解得x=-
      3π
      4
      或
      π
      4
      ，
      故x的值为：-
      3π
      4
      ．
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