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  • 已知向量a=（cosθ，sinθ）和b=(√2-sinθ，cosθ)．（1）若a∥b，求角θ的集合；（2）若θ∈(5π4，13π4)，且|a-b|=√3，求cos(θ2-π8)的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知向量
      a
      =（cosθ，sinθ）和b=(
      √2
      -sinθ，cosθ)．
      （1）若
      a
      ∥
      b
      ，求角θ的集合；
      （2）若θ∈(
      5π
      4
      ，
      13π
      4
      )，且|
      a
      -
      b
      |=
      √3
      ，求cos(
      θ
      2
      -
      π
      8
      )的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意知
      a
      ∥
      b
      ，则cosθ×cosθ-sinθ×（
      √2
      -sinθ）=0，
      ∴
      √2
      sinθ=1，sinθ=
      √2
      2
      ，
      ∴角θ的集合={θ|θ=
      π
      4
      +2kπ或θ=
      3π
      4
      +2kπ，k∈Z}；
      （2）由题意得，
      a
      -
      b
      =（cosθ-
      √2
      +sinθ，sinθ-cosθ），
      ∴|
      a
      -
      b
      |=
      √(cosθ+sinθ-
      √2
      )2+(sinθ-cosθ)2
      =
      √4-2
      √2
      (cosθ+sinθ)

      =2
      √1-cos(θ-
      π
      4
      )
      =
      √3
      ，
      即cos（θ-
      π
      4
      ）=
      1
      4
      ，由余弦的二倍角公式得，[cos(
      θ
      2
      -
      π
      8
      )] 2=
      cos(θ-
      π
      4
      )+1
      2
      ①，
      ∵θ∈(
      5π
      4
      ，
      13π
      4
      )，∴
      5π
      8
      ＜
      θ
      2
      ＜
      13π
      8
      ，
      ∴
      π
      2
      ＜
      θ
      2
      -
      π
      8
      ＜
      3π
      2
      ，即cos（
      θ
      2
      -
      π
      8
      ）＜0，
      ∴由①得cos（
      θ
      2
      -
      π
      8
      ）=-
      √10
      4
      ．
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      选修4-2北师大版解答题高中数学

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