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  • 设 A、B、C是直线l上的三点，向量OA，OB，OC满足关系：OA+(y-√3sinxcosx)OB-(12+sin2x)OC=0．（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)=f(12x+π3)，x∈[0，7π12]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；（Ⅲ）令函数h（x）=√2（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，π2]，不等式h（x1）≤f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设 A、B、C是直线l上的三点，向量
      OA
      ，
      OB
      ，
      OC
      满足关系：
      OA
      +(y-
      √3
      sinxcosx)
      OB
      -(
      1
      2
      +sin2x)
      OC
      =
      0
      ．
      （Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
      （Ⅱ）若函数g(x)=f(
      1
      2
      x+
      π
      3
      )，x∈[0，
      7π
      12
      ]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
      （Ⅲ）令函数h（x）=
      √2
      （sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，
      π
      2
      ]，不等式h（x1）≤f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由已知可得
      OA
      =(-y+
      √3
      sinxcosx)
      OB
      +(
      1
      2
      +sin2x)
      OC

      ∵A、B、C三点共线，∴-y+
      √3
      sinxcosx+
      1
      2
      +sin2x=1----------------------------------------，（2分）
      则y=
      √3
      sinxcosx+sin2x-
      1
      2
      =
      √3
      2
      sin2x-
      1
      2
      cos2x=sin(2x-
      π
      6
      )
      ∴f(x)=sin(2x-
      π
      6
      )--------------------------------（4分）
      （Ⅱ）可得函数g(x)=f(
      1
      2
      x+
      π
      3
      )=sin[2(
      1
      2
      x+
      π
      3
      )-
      π
      6
      ]=sin(x+
      π
      2
      )=cosx，x∈[0，
      7π
      2
      ]-----（5分）
      设函数g（x）的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x      1，x2，x3，且0≤x1＜x2＜x3≤
      7π
      2
      ，
      由已知，有x      1+x3=2x2，另一方面，结合图象的对称性有
      x1+x2
      2
      =π，
      x2+x3
      2
      =2π--------------------（7分）
      ∴x      1=2π-x2，x3=4π-x2，代入x1+x3=2x2，解得x2=
      3π
      2
      ------------（8分）
      再代入g（x）=cosx，得g（x      2）=cos
      3π
      2
      =0，所以b=0------------------（9分）
      （Ⅲ）不等式h（x      1）≤f（x2）恒成立，只需要h（x）max≤f（x）min即可------------（10分）
      令t=sinx+cosx=
      √2
      sin(x+
      π
      4
      )，则t2=1+2sinxcosx=1+sin2x，∴sin2x=t2-1
      又t=sinx+cosx=
      √2
      sin(x+
      π
      4
      )，x∈[0，
      π
      2
      ]，则t∈[1，
      √2
      ]
      函数h（x）转化为y=
      √2
      t+t2-1-a=(t+
      √2
      2
      )2-a-
      3
      2
      ，t∈[1，
      √2
      ]，
      当t=
      √2
      时，函数取得最大值h（x）max=3-a-----------------------------------（12分）
      又f(x)=sin(2x-
      π
      6
      )在x∈[0，
      π
      2
      ]上的最小值为f(x)min=-
      1
      2
      ------------------（13分）
      由h（x）      max≤f（x）min得3-a≤-
      1
      2
      即a≥
      7
      2
      ，
      故实数a的取值范围是[
      7
      2
      ，+∞)--------14分
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