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设 A、B、C是直线l上的三点,向量OA,OB,OC满足关系:OA+(y-√3sinxcosx)OB-(12+sin2x)OC=0.(Ⅰ)化简函数y=f(x)的表达式;(Ⅱ)若函数g(x)=f(12x+π3),x∈[0,7π12]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列,试求实数b的值;(Ⅲ)令函数h(x)=√2(sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的x1,x2∈[0,π2],不等式h(x1)≤f(x2)恒成立,求实数a的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
设 A、B、C是直线l上的三点,向量
OA
,
OB
,
OC
满足关系:
OA
+(y-
√
3
sinxcosx)
OB
-(
1
2
+sin
2
x)
OC
=
0
.
(Ⅰ)化简函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
),x∈[0,
7π
12
]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列,试求实数b的值;
(Ⅲ)令函数h(x)=
√
2
(sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的
x
1
,x
2
∈[0,
π
2
],不等式h(x
1
)≤f(x
2
)恒成立,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)由已知可得
OA
=(-y+
√
3
sinxcosx)
OB
+(
1
2
+sin
2
x)
OC
∵A、B、C三点共线,∴-y+
√
3
sinxcosx+
1
2
+sin
2
x=1----------------------------------------,(2分)
则y=
√
3
sinxcosx+sin
2
x-
1
2
=
√
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)
∴f(x)=sin(2x-
π
6
)--------------------------------(4分)
(Ⅱ)可得函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)=sin[2(
1
2
x+
π
3
)-
π
6
]=sin(x+
π
2
)=cosx,x∈[0,
7π
2
]-----(5分)
设函数g(x)的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x
1
,x
2
,x
3
,且0≤x
1
<x
2
<x
3
≤
7π
2
,
由已知,有x
1
+x
3
=2x
2
,另一方面,结合图象的对称性有
x
1
+x
2
2
=π,
x
2
+x
3
2
=2π--------------------(7分)
∴x
1
=2π-x
2
,x
3
=4π-x
2
,代入x
1
+x
3
=2x
2
,解得
x
2
=
3π
2
------------(8分)
再代入g(x)=cosx,得g(x
2
)=cos
3π
2
=0,所以b=0------------------(9分)
(Ⅲ)不等式h(x
1
)≤f(x
2
)恒成立,只需要h(x)
max
≤f(x)
min
即可------------(10分)
令t=sinx+cosx=
√
2
sin(x+
π
4
),则t
2
=1+2sinxcosx=1+sin2x,∴sin2x=t
2
-1
又t=sinx+cosx=
√
2
sin(x+
π
4
),x∈[0,
π
2
],则t∈[1,
√
2
]
函数h(x)转化为y=
√
2
t+t
2
-1-a=(t+
√
2
2
)
2
-a-
3
2
,t∈[1,
√
2
],
当t=
√
2
时,函数取得最大值h(x)
max
=3-a-----------------------------------(12分)
又f(x)=sin(2x-
π
6
)在x∈[0,
π
2
]上的最小值为f(x)
min
=-
1
2
------------------(13分)
由h(x)
max
≤f(x)
min
得3-a≤-
1
2
即a≥
7
2
,
故实数a的取值范围是[
7
2
,+∞)--------14分
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