• 设 A、B、C是直线l上的三点,向量OA,OB,OC满足关系:OA+(y-√3sinxcosx)OB-(12+sin2x)OC=0.(Ⅰ)化简函数y=f(x)的表达式;(Ⅱ)若函数g(x)=f(12x+π3),x∈[0,7π12]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列,试求实数b的值;(Ⅲ)令函数h(x)=√2(sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的x1,x2∈[0,π2],不等式h(x1)≤f(x2)恒成立,求实数a的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      设 A、B、C是直线l上的三点,向量
      OA
      OB
      OC
      满足关系:
      OA
      +(y-
      3
      sinxcosx)
      OB
      -(
      1
      2
      +sin2x)
      OC
      =
      0

      (Ⅰ)化简函数y=f(x)的表达式;
      (Ⅱ)若函数g(x)=f(
      1
      2
      x+
      π
      3
      ),x∈[0,
      12
      ]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列,试求实数b的值;
      (Ⅲ)令函数h(x)=
      2
      (sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的x1,x2∈[0,
      π
      2
      ],不等式h(x1)≤f(x2)恒成立,求实数a的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(Ⅰ)由已知可得
      OA
      =(-y+
      3
      sinxcosx)
      OB
      +(
      1
      2
      +sin2x)
      OC

      ∵A、B、C三点共线,∴-y+
      3
      sinxcosx+
      1
      2
      +sin2x=1----------------------------------------,(2分)
      则y=
      3
      sinxcosx+sin2x-
      1
      2
      =
      3
      2
      sin2x-
      1
      2
      cos2x=sin(2x-
      π
      6
      )
      ∴f(x)=sin(2x-
      π
      6
      )--------------------------------(4分)
      (Ⅱ)可得函数g(x)=f(
      1
      2
      x+
      π
      3
      )=sin[2(
      1
      2
      x+
      π
      3
      )-
      π
      6
      ]=sin(x+
      π
      2
      )=cosx,x∈[0,
      2
      ]-----(5分)
      设函数g(x)的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x
      1,x2,x3,且0≤x1<x2<x3
      2

      由已知,有x
      1+x3=2x2,另一方面,结合图象的对称性有
      x1+x2
      2
      =π,
      x2+x3
      2
      =2π--------------------(7分)
      ∴x
      1=2π-x2,x3=4π-x2,代入x1+x3=2x2,解得x2=
      2
      ------------(8分)
      再代入g(x)=cosx,得g(x
      2)=cos
      2
      =0,所以b=0------------------(9分)
      (Ⅲ)不等式h(x
      1)≤f(x2)恒成立,只需要h(x)max≤f(x)min即可------------(10分)
      令t=sinx+cosx=
      2
      sin(x+
      π
      4
      ),则t2=1+2sinxcosx=1+sin2x,∴sin2x=t2-1
      又t=sinx+cosx=
      2
      sin(x+
      π
      4
      ),x∈[0,
      π
      2
      ],则t∈[1,
      2
      ]
      函数h(x)转化为y=
      2
      t+t2-1-a=(t+
      2
      2
      )2-a-
      3
      2
      ,t∈[1,
      2
      ],
      当t=
      2
      时,函数取得最大值h(x)max=3-a-----------------------------------(12分)
      又f(x)=sin(2x-
      π
      6
      )在x∈[0,
      π
      2
      ]上的最小值为f(x)min=-
      1
      2
      ------------------(13分)
      由h(x)
      max≤f(x)min得3-a≤-
      1
      2
      即a≥
      7
      2

      故实数a的取值范围是[
      7
      2
      ,+∞)--------14分
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