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  • 数列{an}的前n项和记为Sn，at=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设bn=log3an+1，Tn是数列{1bn?bn+1}的前n项和，求T2011的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      数列{an}的前n项和记为Sn，at=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．
      （Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a      n}是等比数列？
      （Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b      n=log3an+1，Tn是数列{
      1
      bn?bn+1
      }的前n项和，求T2011的值．

      试题解答

      见解析
      （本小题满分12分）
      解：（Ⅰ）由题意得a      n+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）（1分）
      两式相减得a      n+1-an=2an，即an+1=3an，（4分）
      所以当n≥2时，{a      n}是等比数列，
      要使n≥1时，{a      n}是等比数列，则只需
      a2
      a1
      =
      2t+1
      t
      =3，从而t=1．（7分）
      （Ⅱ）由（Ⅰ）得知a      n=3n-1，bn=log3an+1=n，（9分）
      ∴
      1
      bn?bn+1
      =
      1
      (n+1)n
      =
      1
      n
      -
      1
      n+1
      （10分）
      T2011=
      1
      b1b2
      +…+
      1
      b2011b2012
      =(1-
      1
      2
      )+(
      1
      2
      -
      1
      3
      )+…+(
      1
      2011
      -
      1
      2012
      )=
      2011
      2012
      （12分）
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