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  • 已知向量m=（sinA，sinB），n=（cosB，cosA），m?n=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且CA?CB=18，求c边的长．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知向量
      m
      =（sinA，sinB），
      n
      =（cosB，cosA），
      m
      ?
      n
      =sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．
      （1）求角C的大小；
      （2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且
      CA
      ?
      CB
      =18，求c边的长．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由于
      m
      ?
      n
      =sinA?cosB+sinB?cosA=sin(A+B)，…（2分）
      对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC，∴
      m
      ?
      n
      =sinC．…（3分）
      又∵
      m
      ?
      n
      =sin2C，∴sin2C=sinC，cosC=
      1
      2
      ，C=
      π
      3
      ．…（6分）
      （2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
      由正弦定理得2c=a+b．…（8分）∵
      CA
      ?
      CB
      =18，即abcosC=18，ab=36．…（10分）
      由余弦弦定理c      2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，…（11分）
      ∴c      2=4c2-3×36，c2=36，∴c=6．…（12分）
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