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  • 已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2（n为正整数）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，求Tn的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
      1
      2
      )n-1+2（n为正整数）．
      （1）求数列{a      n}的通项公式；
      （2）令      cn=
      n+1
      n
      an，Tn=c1+c2+…+cn，求Tn的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）在Sn=-an-(
      1
      2
      )n-1+2中，
      令n=1，可得S      1=-a1-1+2=a1，
      即      a1=
      1
      2

      当n≥2时，      Sn-1=-an-1-(
      1
      2
      )n-2+2，
      ∴      an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(
      1
      2
      )n-1，
      ∴2a      n=an-1+(
      1
      2
      )n-1，即2nan=2n-1an-1+1．
      ∵b      n=2nan，∴bn=bn-1+1，
      即当n≥2时，b      n-bn-1=1．
      又b      1=2a1=1，
      ∴数列{b      n}是首项和公差均为1的等差数列．
      于是b      n=1+（n-1）?1=n=2nan，
      ∴      an=
      n
      2n
      ．
      （2）由（1）得      cn=
      n+1
      n
      an=(n+1)(
      1
      2
      )n，
      所以      Tn=2×
      1
      2
      +3×(
      1
      2
      )2+4×(
      1
      2
      )3+…+(n+1)(
      1
      2
      )n
      1
      2
      Tn=2×(
      1
      2
      )2+3×(
      1
      2
      )3+4×(
      1
      2
      )4+…+(n+1)(
      1
      2
      )n+1
      由①-②得
      1
      2
      Tn=1+(
      1
      2
      )2+(
      1
      2
      )3+…+(
      1
      2
      )n-(n+1)(
      1
      2
      )n+1
      =1+
      1
      4
      [1-(
      1
      2
      )n-1]
      1-
      1
      2
      -(n+1)(
      1
      2
      )n+1=
      3
      2
      -
      n+3
      2n+1
      ∴Tn=3-
      n+3
      2n
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