已知数列{an}和{bn}满足：对于任何n∈N，有an=bn+1-bn，bn+2=（1+λ）bn+1-λbn（λ为非零常数），且b1=1，b2=2．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若b3是b6与b9的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的n∈N，bn是否一定能是数列{bn}中某两项（不同于bn）的等差中项，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

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已知数列{a_n}和{b_n}满足：对于任何n∈N^*，有a_n=b_n+1-b_n，b_n+2=（1+λ）b_n+1-λb_n（λ为非零常数），且b₁=1，b₂=2．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若b₃是b₆与b₉的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的n∈N^*，b_n是否一定能是数列{b_n}中某两项（不同于b_n）的等差中项，并证明你的结论．

试题解答

见解析

解：（1）由b_n+1=（1+λ）b_n-λb_n-1（n≥2，λ≠0）得，b_n+1-b_n=λ（b_n-b_n-1）．
又a₁=b₂-b₁=1，λ≠0，a_n≠0．
所以，{a_n}是首项为1，公比为λ的等比数列，a_n=λ^n-1．（5分）
由b_n-b₁=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），得b_n-b₁=1+λ+…+λ^n-2（n≥2）
所以，当n≥2时，b_n=

{

1-λ^n-1

1-λ

，λ≠1

n，λ=1.

．（6分）
上式对n=1显然成立（1分）
（2）当λ=1时，b₃不是b₆与b₉的等差中项，不合题意；．（1分）
当λ≠1时，由2b₃=b₆+b₉得λ⁸+λ⁵-2λ²=0，
由λ≠0得λ⁶+λ³-2=0（可解得λ=-

3√2

）..（2分）
对任意的n∈N^*，b_n是b_n+3与b_n+6的等差中项（2分）
证明：∵b_n+3+b_n+6-2b_n=

λ^n-1

1-λ

(2-λ³-λ⁶)=0，∴b_n=

b_n+3+b_n+6

，..（3分）
即，对任意的n∈N^*，b_n是b_n+3与b_n+6的等差中项．

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