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  • （2010?徐汇区一模）各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足2（Sn+1）=an2+an（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn（n∈N*），数列{cn}满足cn={an，n=2k-1bn，n=2k(k∈N*)，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；（3）若数列Pn=43?(2n-1)(n∈N*)，甲同学利用第（2）问中的Tn，试图确定Tn-Pn的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?徐汇区一模）各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足2（Sn+1）=an2+an（n∈N*）．
      （1）求数列{a      n}的通项公式；
      （2）若数列{b      n}满足b1=2，bn+1=2bn（n∈N*），数列{cn}满足cn=
      {
      an，n=2k-1
      bn，n=2k
      (k∈N*)，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；
      （3）若数列      Pn=
      4
      3
      ?(2n-1)(n∈N*)，甲同学利用第（2）问中的Tn，试图确定Tn-Pn的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）n=1，2（S1+1）=a12+a1?a1=2．（2分）
      n≥2，2(Sn+1)=an2+an2(Sn-1+1)=an-12+an-1，
      两式相减，得2a      n=an2-an-12+an-an-1
      ∵a      n＞0，∴an-an-1=1．（4分）
      ?{a      n}为等差数列，首项为2，公差为1
      ∴a      n=n+1（n∈N*）．（5分）
      （2）∵{b      n}是首项为2，公比为2的等比数列，
      ∴b      n=2n（n∈N*）．（7分）
      n为偶数时，T      n=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）．（8分）
      =
      (a1+an-1)?
      n
      2
      2
      +
      4(1-4
      n
      2
      )
      1-4
      =
      n2+2n
      4
      +
      4
      3
      (2n-1)．（10分）
      （3）由程序可知，n为偶数，
      ∴T      n=
      n2+2n
      4
      +
      4
      3
      (2n-1)，Pn=
      4
      3
      (2n-1)
      设d      n=A-B=Tn-Pn=
      n2+2n
      4
      ．（13分）
      ∵n=8时，
      n2+2n
      4
      =20，且n为偶数
      ∴n=8时，T      n-Pn=20成立，程序停止．（14分）
      ∴乙同学的观点错误．（16分）
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