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  • （1）若对于任意的n∈N*，总有n+2n(n+1)=An+Bn+1成立，求常数A，B的值；（2）在数列{an}中，a1=12，an=2an-1+n+2n(n+1)（n≥2，n∈N*），求通项an；（3）在（2）题的条件下，设bn=n+12(n+1)an+2，从数列{bn}中依次取出第k1项，第k2项，…第kn项，按原来的顺序组成新的数列{cn}，其中cn=bkn，其中k1=m，kn+1-kn=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使limn→+∞(c1+c2+…+cn)=S且461＜S＜113成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （1）若对于任意的n∈N*，总有
      n+2
      n(n+1)
      =
      A
      n
      +
      B
      n+1
      成立，求常数A，B的值；
      （2）在数列{a      n}中，a1=
      1
      2
      ，an=2an-1+
      n+2
      n(n+1)
      （n≥2，n∈N*），求通项an；
      （3）在（2）题的条件下，设      bn=
      n+1
      2(n+1)an+2
      ，从数列{bn}中依次取出第k1项，第k2项，…第kn项，按原来的顺序组成新的数列{cn}，其中cn=bkn，其中k1=m，kn+1-kn=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使limn→+∞(c1+c2+…+cn)=S且
      4
      61
      ＜S＜
      1
      13
      成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题设得A（n+1）+Bn=n+2即（A+B）n+A=n+2恒成立，
      所以
      {
      A+B=1
      A=2
      ?A=2，B=-1．（4分）
      （2）由题设      an=2an-1+
      n+2
      n(n+1)
      （n≥2）又
      n+2
      n(n+1)
      =
      2
      n
      -
      1
      n+1
      得，an+
      1
      n+1
      =2an-1+
      2
      n
      =2(an-1+
      1
      n
      )，且a1+
      1
      2
      =1，
      即{a      n+
      1
      n+1
      }是首项为1，公比为2的等比数列，（8分）
      所以      an+
      1
      n+1
      =2n-1．即an=2n-1-
      1
      n+1
      为所求．（9分）
      （3）假设存在正整数m，r满足题设，由（2）知      an=2n-1-
      1
      n+1

      显然      bn=
      n+1
      2(n+1)an+2
      =
      1
      2n
      ，
      又      cn=bkn得
      cn+1
      cn
      =
      bkn+1
      bkn
      =(
      1
      2
      )kn+1-kn=
      1
      2r
      ，
      c1=bk1=
      1
      2m
      即{cn}是以
      1
      2m
      为首项，
      1
      2r
      为公比的等比数列．（11分）
      于是S=limn→+∞(c      1+c2++cn)=
      1
      2m
      1-
      1
      2r
      =
      1
      2m-2m-r
      ，（12分）
      由
      4
      61
      ＜S＜
      1
      13
      得13＜2m-2m-r＜
      61
      4
      ，m，r∈N*，
      所以2      m-2m-r=14或15，（14分）
      当2      m-2m-r=14时，m=4，r=3；
      当2      m-2m-r=15时，m=4，r=4；
      综上，存在正整数m，r满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．（16分）
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