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  • 在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对于正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切，若x1=1，且xn+1＜xn．（1）求证：数列是等差数列；（2）设⊙Pn的面积为Sn，，求证：．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对于正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切，若x1=1，且xn+1＜xn．
      （1）求证：数列      是等差数列；
      （2）设⊙P      n的面积为Sn，，求证：．

      试题解答

      见解析
      （1）由圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切可知Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到
      =Yn+Y（n+1），整理得，=2，原式得证．
      （2）由（1）可知      =2n-1，进而求得xn的通项公式，代入⊙Pn的面积即可求得的表达式为Sn=（）4，要证＜，只需证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可．根据1+（）2+（）2+…（）2=1+（）2+（）2+（）2+…（）2，且1+（）2+（）2+（）2+…（）2＜2，进而可得1+（）2+（）2+…（）＜，进而得Tn=＜
      （1）证明：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
      所以，R      n=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，即
      =Yn+Y（n+1）
      整理就可以得到，=2
      故数列      是等差数列
      （2）S      1=π（x1）4S2=π（x2）4…Sn=π（xn）4
      约去证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可
      由（1）知（x1）      2+（x2）2+…（xn）2
      =1+（）2+（）2+…（）2
      因为1+（）2+（）2+（）2+…（）2
      =[1+（      ）2+（）2+…（）2]+[1+（）2+（）2+（）2+…（）2]
      即1+（      ）2+（）2+…（）2=1+（）2+（）2+（）2+…（）2
      又因为 1+[（      ）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]+（）2+…
      ＜1+[（      ）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+8（）2+…
      =1+      ++…=2
      即就是1+（      ）2+（）2+（）2+…（）2＜2
      所以 1+（      ）2+（）2+…（）＜×2=
      即1+（      ）2+（）2+…（）＜
      所以      ＜
      即
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