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  • 已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求使不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥a√2n+1对一切n∈N*均成立的最大实数a；（3）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．
      （1）求数列{a      n}的通项公式；
      （2）求使不等式(1+
      1
      a1
      )(1+
      1
      a2
      )…(1+
      1
      an
      )≥a
      √2n+1
      对一切n∈N*均成立的最大实数a；
      （3）对每一个k∈N*，在a      k与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设{an}的公差为d，由题意d＞0，且
      {
      a1+2d=5
      (a1+3d)(2a1+d)=28
      （2分）
      a      1=1，d=2，数列{an}的通项公式为an=2n-1（4分）
      （2）由题意a≤
      1
      √2n+1
      (1+
      1
      a1
      )(1+
      1
      a2
      )(1+
      1
      an
      )对n∈N*均成立（5分）
      记F(n)=
      1
      √2n+1
      (1+
      1
      a1
      )(1+
      1
      a2
      )(1+
      1
      an
      )
      则
      F(n+1)
      F(n)
      =
      2n+2
      √(2n+1)(2n+3)
      =
      2(n+1)
      √4(n+1)2-1
      ＞
      2(n+1)
      2(n+1)
      =1
      ∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），∴F（n）随n增大而增大（8分）
      ∴F（n）的最小值为F(1)=
      2
      √3
      3

      ∴a≤
      2
      √3
      3
      ，即a的最大值为
      2
      √3
      3
      （9分）
      （3）∵a      n=2n-1
      ∴在数列{b      n}中，am及其前面所有项之和为[1+3+5++（2m-1）]+（2+22++2m-1）=m2+2m-2（11分）
      ∵10      2+210-2=1122＜2008＜112+211-2=2156，即a10＜2008＜a11（12分）
      又a      10在数列{bn}中的项数为：10+1+2++28=521（14分）
      且2008-1122=886=443×2，
      所以存在正整数m=521+443=964使得S      m=2008（16分）
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