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  • 如图，在y轴的正半轴上依次有点A1、A2、…An…，其中点A1（0，1）、A2（0，10），且|An-1An|=3|AnAn+1|（n=2，3，4…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B1、B2…、Bn…，点B1的坐标为（3，3），且|OBn|=|OBn-1|+2√2（n=2，3，4…）．（1）求|AnAn+1|（用含字母的式子表示）；（2）求点An、Bn的坐标（用含n的式子表示）；（3）设四边形AnBnBn+1An+1面积为Sn，问{Sn}中是否存在不同的三项S1，Sn，Sk（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在y轴的正半轴上依次有点A1、A2、…An…，其中点A1（0，1）、A2（0，10），且|An-1An|=3|AnAn+1|（n=2，3，4…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B1、B2…、Bn…，点B1的坐标为（3，3），且|OBn|=|OBn-1|+2
      √2
      （n=2，3，4…）．
      （1）求|A      nAn+1|（用含字母的式子表示）；
      （2）求点A      n、Bn的坐标（用含n的式子表示）；
      （3）设四边形A      nBnBn+1An+1面积为Sn，问{Sn}中是否存在不同的三项S1，Sn，Sk（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）|An-1An|=3|AnAn+1|，且|A1A2|=10-1=9，
      ∴|A      nAn+1|=|A1A2|(
      1
      3
      )n-1=9×(
      1
      3
      )n-1=(
      1
      3
      )n-3．
      （2）由（1）的结论可得
      |A      1A2|+|A2A3|+…+|An-1An|=9+3+1+…+(
      1
      3
      )n-1=
      27
      2
      -
      1
      2
      (
      1
      3
      )n-1
      ∴A      n的坐标（0，
      29
      2
      -
      1
      2
      (
      1
      3
      )n-1），
      ∵|OB      n|-|OBn-1|=2
      √2
      （n=2，3，…）且|OB1|=3
      √2

      ∴{|OB      n|}是以3
      √2
      为首项，2
      √2
      为公差的等差数列
      ∴|OB      n|=3
      √2
      +（n-1）×2
      √2
      =（2n+1）
      √2
      ，
      ∴B      n的坐标为（2n+1，2n+1）．
      （3）连接A      nBn+1，设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn，
      则S      n=S △AnAn+1Bn+1+S △BnBn+1An=
      1
      2
      (
      1
      3
      )n-3×（2n+3）+
      1
      2
      ?2
      √2
      ?[
      29
      2
      -
      1
      2
      (
      1
      3
      )n-4]
      √2
      2
      =
      29
      2
      +
      n
      3n-3

      由S      1，Sn，Sk（1＜n＜k，n，k∈N）成等差数列，
      ∴2（
      29
      2
      +
      n
      3n-3
      ）=
      29
      2
      +9+（
      29
      2
      +
      k
      3k-3
      ）
      即k=2?3      k（
      n
      3n
      -
      1
      6
      ），①（4分）
      ∵
      n+1
      3n+1
      -
      n
      3n
      =
      1-2n
      3n+1
      ＜0，
      ∴{
      n
      3n
      }是单调递减数列．
      当n≥3时，
      n
      3n
      ≤
      1
      9
      ，①式右边小于0，矛盾，
      当n=2时，得k=3      k-2，易知k=3是唯一解，
      ∴S      1，S2，S3成等差数列．
      即当n≥3时，{S      n}中不存在S1，Sn，Sk三项成等差数列．
      综上所述，在数列{S      n}中，有且仅有S1，S2，S3成等差数列．
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