定义：数列{an}对一切正整数n均满足an+an+22＞an+1，称数列{an}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：（1）等差数列{an}一定是凸数列（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列（3）若数列{an}为凸数列，则数列{an+1-an}是单调递增数列（4）凸数列{an}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得an0+1＞an0其中正确说法的个数是．试题及答案-填空题-云返教育

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定义：数列{a_n}对一切正整数n均满足

a_n+a_n+2

＞a_n+1，称数列{a_n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：
（1）等差数列{a_n}一定是凸数列
（2）首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a_n}一定是凸数列
（3）若数列{a_n}为凸数列，则数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列
（4）凸数列{a_n}为单调递增数列的充要条件是存在n₀∈N^*，使得a_n₀+1＞a_n₀
其中正确说法的个数是．

试题解答

解：（1）由等差数列{a_n}的性质可得：

a_n+a_n+2

=a_n+1，不满足

a_n+a_n+2

＞a_n+1，因此不是“凸数列”．
（2）∵首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a_n}，
∴a_n=a₁q^n-1＞0．
∴

a_n+a_n+2

a_n+a_nq²

=a_n?

1+q²

＞a_nq=a_n+1．因此是“凸数列”．故正确．
（3）∵数列{a_n}为凸数列，∴数列{a_n}对一切正整数n均满足

a_n+a_n+2

＞a_n+1，
∴a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，
∴数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列．因此正确．
（4）①凸数列{a_n}为单调递增数列可得对于任意的n₀∈N^*，都有a_n₀+1＞a_n₀；
②对于凸数列{a_n}存在n₀∈N^*，使得a_n₀+1＞a_n₀．
则a_n₀+2-a_n₀+1＞2a_n₀+1-a_n₀-a_n₀+1=a_n₀+1-a_n₀＞0．
如果n₀＞1，则此数列不一定是递增数列．
因此（4）不正确．
综上可知：只有（2）（3）正确．
故答案为：2．

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